如图，在正方体 A B C D-A_ 1 B_ 1 C_…——2020 高考数学第 16 题答案解析

【答案】（I）证明见解析；（II）$\frac{2}{3}$ ．

## 【解析】

【分析】

（I）证明出四边形 $A B C_{1} D_{1}$ 为平行四边形，可得出 $B C_{1} / / A D_{1}$ ，然后利用线面平行的判定定理可证得结论；
（II）以点 $A$ 为坐标原点，$A D , A B , A A_{1}$ 所在直线分别为 $x , y , z$ 轴建立空间直角坐标系 $A-x y z$ ，利用空间向量法可计算出直线 $A A_{1}$ 与平面 $A D_{1} E$ 所成角的正弦值．

【详解】（I）如下图所示：

在正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，$A B / / A_{1} B_{1}$ 且 $A B=A_{1} B_{1}, A_{1} B_{1} / / C_{1} D_{1}$ 且 $A_{1} B_{1}=C_{1} D_{1}$ ，
$\therefore A B / / C_{1} D_{1}$ 且 $A B=C_{1} D_{1}$ ，所以，四边形 $A B C_{1} D_{1}$ 为平行四边形，则 $B C_{1} / / A D_{1}$ ， $\because B C_{1} \not \subset$ 平面 $A D_{1} E, A D_{1} \subset$ 平面 $A D_{1} E, \therefore B C_{1} / /$ 平面 $A D_{1} E$ ；
（II）以点 $A$ 为坐标原点，$A D , A B , A A_{1}$ 所在直线分别为 $x , y , z$ 轴建立如下图所示的空间直角坐标系 $A-x y z$ ，

设正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 2 ，则 $A(0,0,0) , A_{1}(0,0,2) , D_{1}(2,0,2)$ 、

$E(0,2,1), \quad \overrightarrow{A D_{1}}=(2,0,2), \quad \overrightarrow{A E}=(0,2,1)$,
设平面 $A D_{1} E$ 的法向量为 $\vec{n}=(x, y, z)$ ，由 $\left\{\begin{array}{l}\vec{n} \cdot \overrightarrow{A D_{1}}=0 \\ \vec{n} \cdot \overrightarrow{A E}=0\end{array}\right.$ ，得 $\left\{\begin{array}{l}2 x+2 z=0 \\ 2 y+z=0\end{array}\right.$ ，
令 $z=-2$ ，则 $x=2, y=1$ ，则 $\vec{n}=(2,1,-2)$ ．
$\cos \left\langle\vec{n}, \overrightarrow{A A_{1}}\right\rangle=\frac{\vec{n} \cdot \overrightarrow{A A_{1}}}{|\vec{n}| \cdot\left|\overrightarrow{A A_{1}}\right|}=-\frac{4}{3 \times 2}=-\frac{2}{3}$.
因此，直线 $A A_{1}$ 与平面 $A D_{1} E$ 所成角的正弦值为 $\frac{2}{3}$ ．
【点睛】本题考查线面平行的证明，同时也考查了利用空间向量法计算直线与平面所成角的正弦值，考查计算能力，属于基础题．