2020 北京卷 数学　·　真题与答案解析

1．已知集合 $A=\{-1,0,1,2\}, B=\{x \mid 0<x<3\}$ ，则 $A \cap B=$ ．

2．在复平面内，复数 $z$ 对应的点的坐标是 $(1,2)$ ，则 $i \cdot z=$ ．

3．在 $(\sqrt{x}-2)^{5}$ 的展开式中，$x^{2}$ 的系数为（ ）。

4．某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为 ．  正（主）视图  侧（左）视图  俯视图

5．已知半径为 1 的圆经过点 $(3,4)$ ，则其圆心到原点的距离的最小值为 ．

6．已知函数 $f(x)=2^{x}-x-1$ ，则不等式 $f(x)>0$ 的解集是（））．

7．设抛物线的顶点为 $O$ ，焦点为 $F$ ，准线为 $l . P$ 是抛物线上异于 $O$ 的一点，过 $P$ 作 $P Q \perp l$ 于 $Q$ ，则线段 $F Q$ 的垂直平分线（ ）．

8．在等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中，$a_{1}=-9, a_{3}=-1$ 。记 $T_{n}=a_{1} a_{2} \ldots a_{n}(n=1,2, \ldots)$ ，则数列 $\left\{T_{n}\right\}$ ）．

9．已知 $\alpha, \beta \in R$ ，则＂存在 $k \in Z$ 使得 $\alpha=k \pi+(-1)^{k} \beta$＂是＂ $\sin \alpha=\sin \beta$＂的（ ）．

10．2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（ $\pi$ Day）．历史上，求圆周率 $\pi$ 的方法有多种，与中国传统数学中的＂割圆术＂相似。数学家阿尔•卡西的方法是：当正整数 $n$ 充分大时，计算单位圆的内接正 $6 n$ 边形的周长和外切正 $6 n$ 边 形（各边均与圆相切的正 $6 n$ 边形）的周长，将它们的算术平均数作为 $2 \pi$ 的近似值。按照阿尔•卡西的方法，$\pi$ 的近似值的表达式是（ ）。

11．函数 $f(x)=\frac{1}{x+1}+\ln x$ 的定义域是 $\_\_\_\_$ ．

12．已知双曲线 $C: \frac{x^{2}}{6}-\frac{y^{2}}{3}=1$ ，则 $C$ 的右焦点的坐标为 $\_\_\_\_$ ；$C$ 的焦点到其渐近线的距离是 $\_\_\_\_$ ．

13．已知正方形 $A B C D$ 的边长为 2 ，点 $P$ 满足 $\overrightarrow{A P}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C})$ ，则 $|\overrightarrow{P D}|=$ $\_\_\_\_$ ； $\overrightarrow{P B} \cdot \overrightarrow{P D}=$ $\_\_\_\_$。

14．若函数 $f(x)=\sin (x+\varphi)+\cos x$ 的最大值为 2 ，则常数 $\varphi$ 的一个取值为 $\_\_\_\_$。

15．为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改、设企业的污水摔放量 $W$ 与时间 $t$ 的关系为 $W=f(t)$ ，用 $-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ 的大小评价在 $[a, b]$ 这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示．  给出下列四个结论： ①在 $\left[t_{1}, t_{2}\right]$ 这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强； ②在 $t_{2}$ 时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强； ③在 $t_{3}$ 时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标； ④甲企业在 $\left[0, t_{1}\right],\left[t_{1}, t_{2}\right],\left[t_{2}, t_{3}\right]$ 这三段时间中，在 $\left[0, t_{1}\right]$ 的污水治理能力最强．其中所有正确结论的序号是 $\_\_\_\_$ ．

16．如图，在正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，$E$ 为 $B B_{1}$ 的中点．  （I）求证：$B C_{1} / /$ 平面 $A D_{1} E$ ； （II）求直线 $A A_{1}$ 与平面 $A D_{1} E$ 所成角的正弦值．

17．在 $\triangle A B C$ 中，$a+b=11$ ，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求： （ I ）$a$ 的值： （ II ） $\sin C$ 和 $\triangle A B C$ 的面积． 条件①：$c=7, \cos A=-\frac{1}{7}$ ； 条件②： $\cos A=\frac{1}{8}, \cos B=\frac{9}{16}$ ． 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分。

18．某校为举办甲、乙两项不同活动，分别设计了相应的活动方案：方案一、方案二。为了解该校学生对活动方案是否支持，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表： | | 男生 | | 女生 | | | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | | | 支持 | 不支持 | 支持 | 不支持 | | 方案一 | 200人 | 400 人 | 300人 | 100人 | | 方案二 | 350人 | 250 人 | 150人 | 250 人 | 假设所有学生对活动方案是否支持相互独立。 （I）分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率； （II）从该校全体男生中随机抽取 2 人，全体女生中随机抽取 1 人，估计这 3 人中恰有 2 人支持方案一的概率； （III）将该校学生支持方案的概率估计值记为 $p_{0}$ ，假设该校年级有 500 名男生和 300 名女生，除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为 $p_{1}$ ，试比较 $p_{0}$ 与 $p_{1}$ 的大小。（结论不要求证明）

19．已知函数 $f(x)=12-x^{2}$ ． （I）求曲线 $y=f(x)$ 的斜率等于 -2 的切线方程； （II）设曲线 $y=f(x)$ 在点 $(t, f(t))$ 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为 $S(t)$ ，求 $S(t)$ 的最小值．

20．已知椭圆 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ 过点 $A(-2,-1)$ ，且 $a=2 b$ ． （I）求椭圆 $C$ 的方程： （ II）过点 $B(-4,0)$ 的直线 $l$ 交椭圆 $C$ 于点 $M, N$ ，直线 $M A, N A$ 分别交直线 $x=-4$ 于点 $P, Q$ ．求 $\frac{|P B|}{|B Q|}$ 的值．

21．已知 $\left\{a_{n}\right\}$ 是无穷数列。给出两个性质： （1）对于 $\left\{a_{n}\right\}$ 中任意两项 $a_{i}, a_{j}(i>j)$ ，在 $\left\{a_{n}\right\}$ 中都存在一项 $a_{m}$ ，使 $\frac{a_{i}^{2}}{a_{j}}=a_{m}$ ； （2）对于 $\left\{a_{n}\right\}$ 中任意项 $a_{n}(n \ldots 3)$ ，在 $\left\{a_{n}\right\}$ 中都存在两项 $a_{k}, a_{l}(k>l)$ 。使得 $a_{n}=\frac{a_{k}^{2}}{a_{l}}$ ． （I）若 $a_{n}=n(n=1,2, \cdots)$ ，判断数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是否满足性质①，说明理由； （II）若 $a_{n}=2^{n-1}(n=1,2, \cdots)$ ，判断数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是否同时满足性质①和性质②，说明理由； （III）若 $\left\{a_{n}\right\}$ 是递增数列，且同时满足性质①和性质②，证明：$\left\{a_{n}\right\}$ 为等比数列。