设 的内角，， 的对边分别为DABC A B C a :…——2015 高考数学第 17 题答案解析

（1）由已知 $a = b \tan A$ 及正弦定理 $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$，可得：
$$ \frac{b \tan A}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} $$
因为 $A$ 为三角形内角，$\sin A \neq 0$，且 $b \neq 0$，化简得：
$$ \frac{\tan A}{\sin A} = \frac{1}{\sin B} \implies \frac{1}{\cos A} = \frac{1}{\sin B} $$
即 $\sin B = \cos A$。
利用诱导公式 $\cos A = \sin(\frac{\pi}{2} + A)$，故 $\sin B = \sin(\frac{\pi}{2} + A)$。
因为 $B$ 为钝角，即 $B \in (\frac{\pi}{2}, \pi)$，所以 $\cos A > 0$，则 $A$ 必为锐角，$A \in (0, \frac{\pi}{2})$。
此时 $\frac{\pi}{2} + A \in (\frac{\pi}{2}, \pi)$。
在区间 $(0, \pi)$ 上，若 $\sin x = \sin y$，则 $x=y$ 或 $x+y=\pi$。
若 $B + (\frac{\pi}{2} + A) = \pi$，则 $B = \frac{\pi}{2} - A$，此时 $B$ 为锐角，与 $B$ 为钝角矛盾。
因此只能是 $B = \frac{\pi}{2} + A$，即 $B - A = \frac{\pi}{2}$。

（2）由（1）知 $B = A + \frac{\pi}{2}$。
在 $\triangle ABC$ 中，$C = \pi - (A + B) = \pi - (A + A + \frac{\pi}{2}) = \frac{\pi}{2} - 2A$。
因为 $C > 0$，所以 $\frac{\pi}{2} - 2A > 0$，解得 $A < \frac{\pi}{4}$。
又 $A > 0$，故 $A \in (0, \frac{\pi}{4})$。
令 $y = \sin A + \sin C$，代入 $C$ 的表达式：
$$ y = \sin A + \sin(\frac{\pi}{2} - 2A) = \sin A + \cos 2A $$
利用二倍角公式 $\cos 2A = 1 - 2\sin^2 A$，得：
$$ y = \sin A + 1 - 2\sin^2 A = -2\sin^2 A + \sin A + 1 $$
令 $t = \sin A$。因为 $A \in (0, \frac{\pi}{4})$，所以 $t \in (0, \frac{\sqrt{2}}{2})$。
原式转化为关于 $t$ 的二次函数：
$$ f(t) = -2t^2 + t + 1 = -2(t - \frac{1}{4})^2 + \frac{9}{8} $$
该二次函数开口向下，对称轴为 $t = \frac{1}{4}$。
因为 $0 < \frac{1}{4} < \frac{\sqrt{2}}{2}$，所以当 $t = \frac{1}{4}$ 时，$f(t)$ 取得最大值 $\frac{9}{8}$。
当 $t \to 0$ 时，$f(t) \to 1$；当 $t \to \frac{\sqrt{2}}{2}$ 时，
$$ f(\frac{\sqrt{2}}{2}) = -2(\frac{\sqrt{2}}{2})^2 + \frac{\sqrt{2}}{2} + 1 = -1 + \frac{\sqrt{2}}{2} + 1 = \frac{\sqrt{2}}{2} $$
比较端点值与顶点值：$\frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.707$，$1 > \frac{\sqrt{2}}{2}$。
函数在 $(0, \frac{1}{4}]$ 单调递增，在 $[\frac{1}{4}, \frac{\sqrt{2}}{2})$ 单调递减。
最小值的下确界由右端点决定（因为左端点趋近于 1，右端点趋近于 $\frac{\sqrt{2}}{2}$，且 $\frac{\sqrt{2}}{2} < 1$），最大值为 $\frac{9}{8}$。
注意 $t$ 取不到 $\frac{\sqrt{2}}{2}$，所以 $y$ 取不到 $\frac{\sqrt{2}}{2}$；$t$ 可以取到 $\frac{1}{4}$，所以 $y$ 可以取到 $\frac{9}{8}$。
故 $\sin A + \sin C$ 的取值范围是 $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{9}{8}]$。