2011_xinkebiao_old
14．（5分）在平面直角坐标系 $\mathsf { x O y }$ ，椭圆C的中心为原点，焦点 $\mathsf { F } _ { 1 } \mathsf { F } _ { 2 }$ 在x轴上，离心率为 $\frac { \sqrt { 2 } } { 2 }$ ．过 $\mathsf { F } _ { \mathsf { I } }$ 的直线交于A，B两点，且 $\triangle \mathsf { A B F } _ { 2 }$ 的周长为16，那么C的方程为 $\frac { x ^ { 2 } } { 1 6 } + \frac { y ^ { 2 } } { 8 } = 1$
$\frac { { \mathbf x } ^ { 2 } } { 1 6 } + \frac { { \mathbf y } ^ { 2 } } { 8 } = 1$
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【考点】K4：椭圆的性质
【专题】11：计算题；16：压轴题
【分析】根据题意， $\triangle \mathsf { A B F } _ { 2 }$ 的周长为16，即 ${ \mathsf { B F } } _ { 2 } { + } { \mathsf { A F } } _ { 2 } { + } { \mathsf { B F } } _ { 1 } { + } { \mathsf { A F } } _ { 1 } { = } 1 6$ ，结合椭圆的定义，有 $4 a = 1 6$ ，即可得a的值；又由椭圆的离心率，可得c的值，进而可得b的值；由椭圆的焦点在x轴上，可得椭圆的方程
【解答】解：根据题意， $\triangle \mathsf { A B F } _ { 2 }$ 的周长为16，即 ${ \tt B F } _ { 2 } + { \tt A F } _ { 2 } + { \tt B F } _ { 1 } + { \tt A F } _ { 1 } = 1 6$
根据椭圆的性质，有 $4 a = 1 6$ ，即 $\mathtt { a } = 4$ ；
椭圆的离心率为 $\frac { \sqrt { 2 } } { 2 }$ ，即 $\frac { c } { a } = \frac { \sqrt { 2 } } { 2 }$ ，则 $\mathsf { a } { = } \sqrt { 2 } \mathsf { c }$
将 $\mathsf { a } { = } \sqrt { 2 } \mathsf { c }$ ，代入可得， $\mathsf { c } { = } 2 \sqrt { 2 }$ ，则 $b ^ { 2 } = a ^ { 2 } - c ^ { 2 } = 8$
则椭圆的方程为 $\frac { \mathbf { x } ^ { 2 } } { 1 6 } + \frac { \mathbf { y } ^ { 2 } } { 8 } = 1$ ；
故答案为： $\frac { { \mathbf x } ^ { 2 } } { 1 6 } + \frac { { \mathbf y } ^ { 2 } } { 8 } = 1$
【点评】本题考查椭圆的性质，此类题型一般与焦点三角形联系，难度一般不大；注意结合椭圆的基本几何性质解题即可