2014_省自主命题（山东）
19.（本小题满分12分）
已知等差数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 的公差为2，前n项和为 $S _ { n }$ ，且 $S _ { 1 } , S _ { 2 } , S _ { 4 }$ 成等比数列.
（Ⅰ）求数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 的通项公式；
（Ⅱ）令 $b _ { n } = ( - 1 ) ^ { n - 1 } { \frac { 4 n } { a _ { n } a _ { n + 1 } } }$ ，求数列 $\left\{ b _ { n } \right\}$ 的前n项和 $T _ { n }$ .
见解析
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【解答】
解：（Ⅰ） $d = 2 , \mathrm { S } _ { 1 } = a _ { 1 } , \mathrm { S } _ { 2 } = 2 a _ { 1 } + d , \mathrm { S } _ { 4 } = 4 a _ { 1 } + 6 d$
$\because S _ { 1 } , S _ { 2 } , S _ { 4 }$ 成等比数列
$$ \therefore S _ { 2 } ^ { 2 } = S _ { 1 } S _ { 4 } $$
解得 $a _ { 1 } = 1 , \therefore a _ { n } = 2 n - 1$
（Ⅱ） $b _ { n } = ( - 1 ) ^ { n - 1 } \frac { 4 n } { a _ { n } a _ { n + 1 } } = ( - 1 ) ^ { n - 1 } ( \frac { 1 } { 2 n - 1 } + \frac { 1 } { 2 n + 1 } )$
当n为偶数时， $T _ { n } = ( 1 + { \frac { 1 } { 3 } } ) - ( { \frac { 1 } { 3 } } + { \frac { 1 } { 5 } } ) + ( { \frac { 1 } { 5 } } + { \frac { 1 } { 7 } } ) - \cdots + ( { \frac { 1 } { 2 n - 3 } } + { \frac { 1 } { 2 n - 1 } } ) - ( { \frac { 1 } { 2 n - 1 } } + { \frac { 1 } { 2 n + 1 } } )$
当 n为奇数时， $T _ { n } = ( 1 + { \frac { 1 } { 3 } } ) - ( { \frac { 1 } { 3 } } + { \frac { 1 } { 5 } } ) + ( { \frac { 1 } { 5 } } + { \frac { 1 } { 7 } } ) - \cdots - ( { \frac { 1 } { 2 n - 3 } } + { \frac { 1 } { 2 n - 1 } } ) + ( { \frac { 1 } { 2 n - 1 } } + { \frac { 1 } { 2 n + 1 } } )$ $\therefore T _ { n } = 1 + { \frac { 1 } { 2 n + 1 } } = { \frac { 2 n + 2 } { 2 n + 1 } }$
$\therefore T _ { n } = { \left\{ \begin{array} { l l } { { \displaystyle { \frac { 2 n } { 2 n + 1 } } , n \dot { \bar { \lambda } } } } \\ { { \displaystyle { \frac { 2 n + 2 } { 2 n + 1 } } , n . } } \end{array} \right. }$ 为偶数为奇数