如图， P O 是三棱锥 P-A B C 的高， P A=…——2022 高考数学第 20 题答案解析

【答案】（1）证明见解析

②$\frac{11}{13}$

【解析】

【分析】（1）连接 $B O$ 并延长交 $A C$ 于点 $D$ ，连接 $O A , P D$ ，根据三角形全等得到 $O A=O B$ ，再根据直角三角形的性质得到 $A O=D O$ ，即可得到 $O$ 为 $B D$ 的中点从而得到 $O E / / P D$ ，即可得证；
（2）建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量法求出二面角的余弦的绝对值，再根据同角三角函数的基本关系计算可得。

【小问 1 详解】

证明：连接 $B O$ 并延长交 $A C$ 于点 $D$ ，连接 $O A , P D$ ，

因为 $P O$ 是三棱锥 $P-A B C$ 的高，所以 $P O \perp$ 平面 $A B C, A O, B O \subset$ 平面 $A B C$ ，

所以 $P O \perp A O , P O \perp B O$ ，
又 $P A=P B$ ，所以 $\triangle P O A \cong \triangle P O B$ ，即 $O A=O B$ ，所以 $\angle O A B=\angle O B A$ ，
又 $A B \perp A C$ ，即 $\angle B A C=90^{\circ}$ ，所以 $\angle O A B+\angle O A D=90^{\circ}, \angle O B A+\angle O D A=90^{\circ}$ ，
所以 $\angle O D A=\angle O A D$
所以 $A O=D O$ ，即 $A O=D O=O B$ ，所以 $O$ 为 $B D$ 的中点，又 $E$ 为 $P B$ 的中点，所以 $O E / / P D$ ，
又 $O E \not \subset$ 平面 $P A C, P D \subset$ 平面 $P A C$ ，
所以 $O E / /$ 平面 $P A C$

【小问 2 详解】

解：过点 A 作 $A z / / O P$ ，如图建立平面直角坐标系，
因为 $P O=3, A P=5$ ，所以 $O A=\sqrt{A P^{2}-P O^{2}}=4$ ，

又 $\angle O B A=\angle O B C=30^{\circ}$ ，所以 $B D=2 O A=8$ ，则 $A D=4, A B=4 \sqrt{3}$ ，
所以 $A C=12$ ，所以 $O(2 \sqrt{3}, 2,0), B(4 \sqrt{3}, 0,0), P(2 \sqrt{3}, 2,3), C(0,12,0)$ ，

所以 $E\left(3 \sqrt{3}, 1, \frac{3}{2}\right)$ ，

则 $\overrightarrow{A E}=\left(3 \sqrt{3}, 1, \frac{3}{2}\right), \overrightarrow{A B}=(4 \sqrt{3}, 0,0), \overrightarrow{A C}=(0,12,0)$ ，
设平面 $A E B$ 的法向量为 $\vec{n}=(x, y, z)$ ，则 $\left\{\begin{array}{l}\vec{n} \cdot \overrightarrow{A E}=3 \sqrt{3} x+y+\frac{3}{2} z=0 \\ \vec{n} \cdot \overrightarrow{A B}=4 \sqrt{3} x=0\end{array}\right.$ ，令 $z=2$ ，则 $y=-3, x=0$ ，
所以 $\vec{n}=(0,-3,2)$ ；
设平面 $A E C$ 的法向量为 $\vec{m}=(a, b, c)$ ，则 $\left\{\begin{array}{l}\vec{m} \cdot \overrightarrow{A E}=3 \sqrt{3} a+b+\frac{3}{2} c=0 \\ \vec{m} \cdot \overrightarrow{A C}=12 b=0\end{array}\right.$ ，
令 $a=\sqrt{3}$ ，则 $c=-6, b=0$ ，所以 $\vec{m}=(\sqrt{3}, 0,-6)$ ；
所以 $\cos \langle\vec{n}, \vec{m}\rangle=\frac{\vec{n} \cdot \vec{m}}{|\vec{n}||\vec{m}|}=\frac{-12}{\sqrt{13} \times \sqrt{39}}=-\frac{4 \sqrt{3}}{13}$ ．
设二面角 $C-A E-B$ 的大小为 $\theta$ ，则 $|\cos \theta|=|\cos \langle\vec{n}, \vec{m}\rangle|=\frac{4 \sqrt{3}}{13}$ ，
所以 $\sin \theta=\sqrt{1-\cos ^{2} \theta}=\frac{11}{13}$ ，即二面角 $C-A E-B$ 的正弦值为 $\frac{11}{13}$ ．