（2012•天津）设 m, n R，若直线 1: m x+…——2012 高考数学第 12 题答案解析

【解答】
（2012•天津）设 $m, n \in R$ ，若直线 $1: m x+n y-1=0$ 与 $x$ 轴相交于点 $A$ ，与 $y$ 轴相交于点 $B$ ，且 1 与圆 $x^{2}+y^{2}=4$ 相交所得弦的长为 $2, \mathrm{O}$ 为坐标原点，则 $\triangle \mathrm{AOB}$ 面积的最小值为 $\_\_\_\_$ 3。

考直线与圆相交的性质；直线的一般式方程。
点
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专计算题。
题
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分由圆的方程找出圆心坐标和半径 r ，由直线 $l$ 被圆截得的弦长与半径，根据垂径定理及勾股定理求出圆心到直线 1析的距离，然后再利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线 $l$ 的距离，两者相等列出关系式，整理后求出 $m^{2}+n^{2}$
：的值，再由直线 l x 轴交于 A 点，与 y 轴交于 B 点，由直线 l 的解析式分别令 $\mathrm{x}=0$ 及 $\mathrm{y}=0$ ，得出 A 的横坐标及 B 的纵坐标，确定出 A 和 B 的坐标，得出 OA 及 OB 的长，根据三角形 AOB 为直角三角形，表示出三角形 AOB 的面积，利用基本不等式变形后，将 $m^{2}+n^{2}$ 的值代入，即可求出三角形 $A O B$ 面积的最小值。
解解：由圆 $x^{2}+y^{2}=4$ 的方程，得到圆心坐标为 $(0,0)$ ，半径 $r=2$ ，
答 ∵ 直线 $l$ 与圆 $x^{2}+y^{2}=4$ 相交所得弦 $C D=2$ ，
∴ 圆心到直线 $l$ 的距离 $d=\sqrt{r^{2}-\left(\frac{C D}{2}\right)^{2}}=\sqrt{3}$ ，
∴ 圆心到直线 $1: m x+n y-1=0$ 的距离 $d=\frac{1}{\sqrt{m^{2}+n^{2}}}=\sqrt{3}$ ，
整理得： $\mathrm{m}^{2}+\mathrm{n}^{2}=\frac{1}{3}$ ，
令直线 1 解析式中 $\mathrm{y}=0$ ，解得： $\mathrm{x}=\frac{1}{\pi}$ ，
$\therefore \mathrm{A}\left(\frac{1}{\pi}, 0\right)$ ，即 $\mathrm{OA}=\frac{1}{|\mathrm{~m}|}$ ，
令 $\mathrm{x}=0$ ，解得： $\mathrm{y}=\frac{1}{n}$ ，
$\therefore \mathrm{B}\left(0, \frac{1}{\mathrm{n}}\right)$ ，即 $\mathrm{OB}=\frac{1}{|\mathrm{n}|}$ ，
$\because m^{2}+n^{2} \geq 2|m n|$ ，当且仅当 $|m|=|n|$ 时取等号，
$\therefore|\mathrm{mn}| \leq \frac{\mathrm{m}^{2}+\mathrm{n}^{2}}{2}$ ，
又 $\triangle A O B$ 为直角三角形，
$\therefore \mathrm{S}_{\triangle \mathrm{ABC}}=\frac{1}{2} \mathrm{OA} \cdot \mathrm{OB}=\frac{1}{2|\mathrm{mn}|} \geq \frac{1}{\mathrm{~m}^{2}+\mathrm{n}^{2}}=3$ ，
则 $\triangle \mathrm{AOB}$ 面积的最小值为 3 ．
故答案为： 3
点此题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有：点到直线的距离公式，垂径定理，勾股定理，直线的一般式评方程，以及基本不等式的运用，当直线与圆相交时，常常根据垂径定理由垂直得中点，进而由弦长的一半，圆 ：的半径及弦心距构造直角三角形，利用勾股定理俩来解决问题。