2009_quanguo_old_i
15．（5分）直三棱柱 $\mathsf { A B C } - \mathsf { A } _ { 1 } \mathsf { B } _ { 1 } \mathsf { C } _ { 1 }$ 的各顶点都在同一球面上，若 $\mathsf { A B } { = } \mathsf { A C } { = } \mathsf { A A } _ { 1 } { = } 2$ $\angle B A C = 1 2 0 ^ { \circ }$ ，则此球的表面积等于 20π
20π
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【考点】LR：球内接多面体
【专题】11：计算题；16：压轴题
【分析】通过正弦定理求出底面外接圆的半径，设此圆圆心为 $1 0 ^ { \prime }$ ，球心为O，在$\mathsf { R T } \triangle \mathsf { O B O ^ { \prime } }$ 中，求出球的半径，然后求出球的表面积
【解答】解：在 $\triangle A B C \boxed { A } A B = A C = 2 , \angle B A C = 1 2 0 ^ { \circ }$
可得 $B C = 2 \sqrt { 3 }$
由正弦定理，可得 $\triangle A B C$ 外接圆半径 $\ r = 2$ ，
设此圆圆心为 $1 0 ^ { \prime }$ ，球心为O，在 $\mathsf { R T } \triangle \mathsf { O B O } ^ { \prime }$ 中，
易得球半径 $R = \sqrt { 5 }$ ，
故此球的表面积为 $\scriptstyle | 4 \pi \mathsf { R } ^ { 2 } = 2 0 \pi$
故答案为：20π
【点评】本题是基础题，解题思路是：先求底面外接圆的半径，转化为直角三角形，求出球的半径，这是三棱柱外接球的常用方法；本题考查空间想象能力，计算能力