（13 分）已知函数 f(x)=x cos x-sin x…——2014 高考数学第 18 题答案解析

【考点】6E：利用导数研究函数的最值．
【专题】53：导数的综合应用．
【分析】（1）求出 $f^{\prime}(x)=\cos x-x \sin x-\cos x=-x \sin x$ ，判定出在区间 $\in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$上 $f^{\prime}(x)=-x \sin x<0$ ，得 $f(x)$ 在区间 $\in\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 上单调递减，从而 $f(x) \leqslant f(0)=0$.
（2）当 $x>0$ 时，＂$\frac{\sin x}{x}>a$＂等价于＂ $\sin x-a x>0$＂，$\frac{\text { sin } x}{x}

【解答】解：（1）由 $f(x)=x \cos x-\sin x$ 得
$f^{\prime}(x)=\cos x-x \sin x-\cos x=-x \sin x$,
此在区间 $\in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ 上 $f^{\prime}(x)=-x \sin x<0$ ，
所以 $f(x)$ 在区间 $\in\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 上单调递减，
从而 $f(x) \leqslant f(0)=0$ ．
（2）当 $x>0$ 时，＂$\frac{\sin x}{x}>a$＂等价于＂ $\sin x-a x>0$＂，$\frac{\text { sin } x}{x}

令 $\mathrm{g}(\mathrm{x})=\sin \mathrm{x}-\mathrm{cx}$ ，则 $\mathrm{g}^{\prime}(\mathrm{x})=\cos \mathrm{x}-\mathrm{c}$ ，
当 $c \leqslant 0$ 时，$g(x)>0$ 对 $x \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ 上恒成立，
当 $c \geqslant 1$ 时，因为对任意 $x \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right), g^{\prime}(x)=\cos x-c<0$ ，
所以 $\mathrm{g}(\mathrm{x})$ 在区间 $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 上单调递减，
从而，$g(x)

当 $0$g(x)$ 与 $g^{\prime}(x)$ 在区间 $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ 上的情况如下：

因为 $\mathrm{g}(\mathrm{x})$ 在区间 $\left(0, \mathrm{x}_{0}\right)$ 上是增函数，
所以 $g\left(x_{0}\right)>g(0)=0$ 进一步 $g(x)>0$ 对任意 $x \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ 恒成立，
当且仅当 $g\left(\frac{\pi}{2}\right)=1-\frac{\pi}{2} c \geqslant 0$ 即 $0综上所述当且仅当 $c \leqslant \frac{2}{\pi}$ 时，$g(x)>0$ 对任意 $x \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ 恒成立，
当且仅当 $c \geqslant 1$ 时，$g(x)<0$ 对任意 $x \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ 恒成立，
所以若 $\mathrm{a}<\frac{\sin \mathrm{x}}{\mathrm{x}}<\mathrm{b}$ 对 $\mathrm{x} \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ 上恒成立，则 a 的最大值为 $\frac{2}{\pi}, \mathrm{~b}$ 的最小值为 1

【点评】本题考查利用导数求函数的单调区间；利用导数求函数的最值；考查解决不等式问题常通过构造函数解决函数的最值问题，属于一道综合题．