已知函数f x( )的定义域为R，且 f ( x + y…——2022 高考数学第 8 题答案解析

【答案】A

【解析】

【分析】根据题意赋值即可知函数f(x)的一个周期为6，求出函数一个周期中的 $f ( 1 ) , f ( 2 ) , \cdots , f ( 6 )$ 的值，即可解出

【详解】因为 $f { \big ( } x + y { \big ) } + f { \big ( } x - y { \big ) } = f { \big ( } x { \big ) } f { \big ( } y { \big ) }$ ，令 x =1, y = 0 可得， $2 f ( 1 ) = f ( 1 ) f ( 0 )$ ，所以$f ( 0 ) = 2$ ，令x =0可得， $f \left( y \right) + f \left( - y \right) = 2 f \left( y \right)$ ，即 $f \left( y \right) = f \left( - y \right)$ ，所以函数f(x)为偶函数，令y =1得， $f { \big ( } x + 1 { \big ) } + f { \big ( } x - 1 { \big ) } = f { \big ( } x { \big ) } f { \big ( } 1 { \big ) } = f { \big ( } x { \big ) }$ ，即有 $f { \bigl ( } x + 2 { \bigr ) } + f { \bigl ( } x { \bigr ) } = f { \bigl ( } x + 1 { \bigr ) }$ ，从而可知$f \left( x + 2 \right) = - f \left( x - 1 \right) , f \left( x - 1 \right) = - f \left( x - 4 \right)$ ，故 $f ( x + 2 ) = f { \bigl ( } x - 4 { \bigr ) }$ ，即 $f ( x ) = f { \bigl ( } x + 6 { \bigr ) }$ ，所以函数 f(x)的一个周期为6.因为 $f \left( 2 \right) = f \left( 1 \right) - f \left( 0 \right) = 1 - 2 = - 1 , f \left( 3 \right) = f \left( 2 \right) - f \left( 1 \right) = - 1 - 1 = - 2$ $f \left( 4 \right) = f \left( - 2 \right) = f \left( 2 \right) = - 1 , f \left( 5 \right) = f \left( - 1 \right) = f \left( 1 \right) = 1 , f \left( 6 \right) = f \left( 0 \right) = 2$ ，所以一个周期内的 $f { \bigl ( } 1 { \bigr ) } + f { \bigl ( } 2 { \bigr ) } + \cdots + f { \bigl ( } 6 { \bigr ) } = 0$ ．由于22除以6余4，

所以 $\sum _ { k = 1 } ^ { 2 2 } f \left( k \right) = f \left( 1 \right) + f \left( 2 \right) + f \left( 3 \right) + f \left( 4 \right) = 1 - 1 - 2 - 1 = - 3$

故选：A