（10）设函数 g(x)=x^ 2 -2(x R)， f(…——2010 高考数学第 10 题答案解析

【答案】D

【解析】（1）$i$ 是虚数单位，复数 $\frac{3+i}{1-i}=$
（A） $1+2 \mathrm{i}$
（B） $2+4 \mathrm{i}$
（C）$-1-2 \mathrm{i}$
（D） $2-\mathrm{i}$

【答案】A
【解析】本题主要考查复数代数形式的基本运算，属于容易题。
进行复数的除法的运算需要份子、分母同时乘以分母的共轭复数，同时将 $\mathrm{i}^{2}$ 改为 -1 ．

$$ \frac{3+i}{1-i}=\frac{(3+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)}=\frac{2+4 i}{2}=1+2 i $$

【温馨提示】近几年天津卷每年都有一道关于复数基本运算的小题，运算时要细心，不要失分哦。
（2）设变量 $\mathrm{x}, \mathrm{y}$ 满足约束条件 $\left\{\begin{array}{l}x+y \leq 3, \\ x-y \geq-1 \text { ，则目标函数 } \mathrm{z}=4 \mathrm{x}+2 \mathrm{y} \text { 的最大值为 } \\ y \geq 1,\end{array}\right.$
（A） 12
（B） 10
（C） 8
（D） 2

【答案】B
【解析】本题主要考查目标函数最值的求法，属于容易题，做出可行域，如图由图可知

当目标函数过直线 $\mathrm{y}=1$ 与 $\mathrm{x}+\mathrm{y}=3$ 的交点 $(2,1)$ 时 z 取得最大值 10 ．
（3）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出 s 的值为
（A）-1
（B） 0
（C） 1
（D） 3

【答案】B
【解析】本题主要考查条件语句与循环语句的基本应用，属于容易题。
第一次运行程序时 $i=1, \quad s=3$ ；第二次运行程序时，$i=2, \quad s=2$ ；第三次运行程序时，$i=3, s=1$ ；第四次运行程序时，$i=4, s=0$ ，此时执行 $i=i+1$后 $\mathrm{i}=5$ ，推出循环输出 $\mathrm{s}=0$ ．

【温馨提示】涉及循环语句的问题通常可以采用一次执行循环体的方式解决。
（4）函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=e^{x}+x-2$ 的零点所在的一个区间是
（A）$(-2,-1)$
（B）$(-1,0)$
（C）$(0,1)$
（D）$(1,2)$

【答案】C
【解析】本题考查了函数零点的概念与零点定理的应用，属于容易题。因为 $f(0)=-1<0 f(1)=e-1>0$ ，所以零点在区间 $(0,1)$ 上，选 $C$
【温馨提示】函数零点附近函数值的符号相反，这类选择题通常采用代入排除的方法求解。

（5）下列命题中，真命题是
（A）$\exists m \in R$ ，使函数 $f(x)=x^{2}+m x(x \in R)$ 是偶函数
（B）$\exists m \in R$ ，使函数 $f(x)=x^{2}+m x(x \in R)$ 是奇函数
（C）$\forall m \in R$ ，使函数 $f(x)=x^{2}+m x(x \in R)$ 都是偶函数
（D）$\forall m \in R$ ，使函数 $f(x)=x^{2}+m x(x \in R)$ 都是奇函数
【答案】 A
【解析】本题主要考查奇偶数的基本概念，与存在量词、全称量词的含义，属于容易题。当 $m=0$ 时，函数 $f(x)=x^{2}$ 是偶函数，所以选 $A$ 。
【温馨提示】本题也可以利用奇偶函数的定义求解。
（6）设 $a=\log _{5} 4, b=\left(\log _{5} 3\right)^{2}, c=\log _{4}{ }^{5}$ ，则
（A）$a（B）$) b（C）$) a（D）$) \mathrm{b}<\mathrm{a}<\mathrm{c}$

【答案】 D
【解析】本题主要考查利用对数函数的单调性比较大小的基本方法，属于容易题。
因为 $0<\log _{5} 4<1$ ，所以 $\mathrm{b}<\mathrm{a}<\mathrm{c}$
【温馨提示】比较对数值的大小时，通常利用 0 ， 1 进行，本题也可以利用对数函数的图像进行比较。
（7）设集合 $\mathrm{A}=\{\mathrm{x}| | \mathrm{x}-\mathrm{a} \mid<1, \mathrm{x} \in \mathrm{R}\}, B=\{x \mid 1（A）$\{\mathrm{a} \mid 0 \leq \mathrm{a} \leq 6\}$
（B）$\{a \mid a \leq 2$ ，或 $a \geq 4\}$

（C）$\{a \mid a \leq 0$ ，或 $\mathbf{a} \geq 6\}$
（D）$\{a \mid 2 \leq a \leq 4\}$

【答案】C
【解析】本题主要考查绝对值不等式的基本解法与集合交集的运算，属于中等题。
由 $|x-a|<1$ 得 $-1【温馨提示】不等式型集合的交、并集通常可以利用数

轴进行，解题时注意验证区间端点是否符合题意。
（8）右图是函数 $y=A \sin (\omega x+\varphi) \quad(x \in R)$ 在区间 $\left[-\frac{\pi}{6}, \frac{5 \pi}{6}\right]$ 上的图象，为了得到这个函数的图象，只要将 $\mathrm{y}=\sin \mathrm{x}(\mathrm{x} \in \mathrm{R})$ 的图象上所有的点
（A）向左平移 $\frac{\pi}{3}$ 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ 倍，纵坐标不变
（B）

向左平移 $\frac{\pi}{3}$ 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变
（C）向左平移 $\frac{\pi}{6}$ 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ 倍，纵坐标不变
（D）向左平移 $\frac{\pi}{6}$ 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变
【答案】A
【解析】本题主要考查三角函数的图像与图像变换的基础知识，属于中等题。
由图像可知函数的周期为 $\pi$ ，振幅为 1 ，所以函数的表达式可以是 $\mathrm{y}=\sin (2 \mathrm{x}+\varphi)$ ．代入（ $\left.\frac{\pi}{6}, 0\right)$ 可得 $\varphi$ 的一个值为 $\frac{\pi}{3}$ ，故图像中函数的一个表达式是 $\mathrm{y}=\sin \left(2 \mathrm{x}+\frac{\pi}{3}\right)$ ，即 $\mathrm{y}=\sin 2(\mathrm{x}+ \left.\frac{\pi}{6}\right)$ ，所以只需将 $\mathrm{y}=\sin \mathrm{x}(\mathrm{x} \in \mathrm{R})$ 的图像上所有的点向左平移 $\frac{\pi}{6}$ 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ 倍，纵坐标不变。

【温馨提示】根据图像求函数的表达式时，一般先求周期、振幅，最后求 $\varphi$ 。三角函数图像进行平移变换时注意提取 x 的系数，进行周期变换时，需要将 x 的系数变为原来的 $\frac{1}{\omega}$
（9）如图，在 $\triangle \mathrm{ABC}$ 中，$A D \perp A B, \overrightarrow{B C}=\sqrt{3} \overrightarrow{B D},|\overrightarrow{A D}|=1$ ，则 $\overrightarrow{A C} \cdot \overrightarrow{A D}=$
（A） $2 \sqrt{3}$
（B）$\frac{\sqrt{3}}{2}$
（C）$\frac{\sqrt{3}}{3}$
（D）$\sqrt{3}$

【答案】 D
【解析】本题主要考查平面向量的基本运算与解三角形的基础知识，属于难题。
$\overrightarrow{A C} \bullet \overrightarrow{A D}=|\overrightarrow{A C}| \cdot|\overrightarrow{A D}| \cos \angle D A C=|\overrightarrow{A C}| \cdot \cos \angle D A C=|\overrightarrow{A C}| \sin \angle B A C$
$=|\overrightarrow{B C}| \sin \mathrm{B}=\sqrt{3}|\overrightarrow{B D}| \sin \mathrm{B}=\sqrt{3}|\overrightarrow{A D}|=\sqrt{3}$
【温馨提示】近几年天津卷中总可以看到平面向量的身影，且均属于中等题或难题，应加强平面向量的基本运算的训练，尤其是与三角形综合的问题。