</sub> _已知实数 x y, <…——2023 高考数学第 11 题答案解析

【分析】法一：令 $x - y = k$ ，利用判别式法即可；法二：通过整理得 $\left( x - 2 \right) ^ { 2 } + \left( y - 1 \right) ^ { 2 } = 9$ ，利用三角换元法即可，法三：整理出圆的方程，设 $x - y = k$ ，利用圆心到直线的距离小于等于半径即可.【详解】法一：令x y k- = ，则 $x = k + y$

代入原式化简得 $2 y ^ { 2 } + \left( 2 k - 6 \right) y + k ^ { 2 } - 4 k - 4 = 0$

_{因为存在实数}y_，则 $\Delta \geq 0$ ，即 $\big ( 2 k - 6 \big ) ^ { 2 } - 4 \times 2 \big ( k ^ { 2 } - 4 k - 4 \big ) \geq 0$

$$ k ^ {2} - 2 k - 1 7 \leq 0 $$

$$ 1 - 3 \sqrt {2} \leq k \leq 1 + 3 \sqrt {2} $$

$$ 3 \sqrt {2} + 1 $$

法二： $x ^ { 2 } + y ^ { 2 } - 4 x - 2 y - 4 = 0$ ，整理得 $\left( x - 2 \right) ^ { 2 } + \left( y - 1 \right) ^ { 2 } = 9$

令 $x = 3 \cos \theta + 2$ $y = 3 \sin \theta + 1$ ，其中 $\theta \in \left[ 0 , 2 \pi \right]$

$$ x - y = 3 \cos \theta - 3 \sin \theta + 1 = 3 \sqrt {2} \cos \left(\theta + \frac {\pi}{4}\right) + 1 $$

$\because \theta \in \left[ 0 , 2 \pi \right]$ ，所以 $\theta + { \frac { \pi } { 4 } } \in \left[ { \frac { \pi } { 4 } } , { \frac { 9 \pi } { 4 } } \right]$ ，则 $\theta + \frac { \pi } { 4 } = 2 \pi$ ，即 $\theta = \frac { 7 \pi } { 4 }$ _时，x y- _{取得最大值} $3 \sqrt { 2 } + 1$

$$ x ^ {2} + y ^ {2} - 4 x - 2 y - 4 = 0 $$

$$ (x - 2) ^ {2} + (y - 1) ^ {2} = 9 $$

设 $x - y = k$ ，则圆心到直线x y k- = 的距离 $d = { \frac { | 2 - 1 - k | } { \sqrt { 2 } } } \leq 3$

解得 $1 - 3 { \sqrt { 2 } } \leq k \leq 1 + 3 { \sqrt { 2 } }$

故选：C.