（5分）已知正四面体ABCD中，E是AB的中点，则异面直线…——2014 高考数学第 4 题答案解析

【考点】LM：异面直线及其所成的角

【专题】5G：空间角

【分析】由E为AB的中点，可取AD中点F，连接EF，则∠CEF为异面直线CE与BD所成角，设出正四面体的棱长，求出 $\triangle C E F$ 的三边长，然后利用余弦定理求解异面直线CE与BD所成角的余弦值

【解答】解：如图，

取AD中点F，连接EF，CF，

∵E为AB的中点，

∴EF∥DB，

则 $\angle C E F$ 为异面直线BD与CE所成的角，$\because A B C D$ 为正四面体，E，F分别为AB，AD的中点，

∴CE=CF

设正四面体的棱长为2a，

则 $\mathsf { E F } { = } \mathsf { a }$

$$ \mathsf { C E } = \mathsf { C F } = \sqrt { ( 2 \bar { \mathsf { a } } ) ^ { 2 } - \bar { \mathsf { a } } ^ { 2 } } = \sqrt { 3 } \bar { \mathsf { a } } \cdot $$

在 $\triangle C E F$ 中，由余弦定理得：

$$ \cos \angle C E F = \frac { C E ^ { 2 } + E F ^ { 2 } - C F ^ { 2 } } { 2 C E \cdot E F } = \frac { a ^ { 2 } } { 2 \times \sqrt { 3 } a ^ { 2 } } = \frac { \sqrt { 3 } } { 6 } . $$

故选：B

【点评】本题考查异面直线及其所成的角，关键是找角，考查了余弦定理的应用，是中档题