（12分） A B C 的内角 A、 B、 C 的对边分别…——2011 高考数学第 18 题答案解析

【考点】 HU ：解三角形．
【专题】11：计算题．
【分析】（I）利用正弦定理把题设等式中的角的正弦转换成边的关系，代入

余弦定理中求得 $\cos \mathrm{B}$ 的值，进而求得 B ．
（II）利用两角和公式先求得 $\sin A$ 的值，进而利用正弦定理分别求得 $a$ 和 $c$ 。
【解答】解：（I ）由正弦定理得 $a^{2}+c^{2}-\sqrt{2} a c=b^{2}$ ，
由余弦定理可得 $b^{2}=a^{2}+c^{2}-2 a c \cos B$ ，
故 $\cos \mathrm{B}=\frac{\sqrt{2}}{2}, ~ \mathrm{~B}=45^{\circ}$
（II） $\sin \mathrm{A}=\sin \left(30^{\circ}+45^{\circ}\right)=\sin 30^{\circ} \cos 45^{\circ}+\cos 30^{\circ} \sin 45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$
故 $\mathrm{a}=\mathrm{b} \times \frac{\sin \mathrm{A}}{\sin \mathrm{B}}=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{\sqrt{2}}=1+\sqrt{3}$
$\therefore c=b \times \frac{\sin C}{\sin B}=2 \times \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\sqrt{6}$
【点评】本题主要考查了解三角形问题。考查了对正弦定理和余弦定理的灵活运用．