2011 大纲卷 · 文 数学　·　真题与答案解析

1．（5分）设集合 $U=\{1,2,3,4\}, M=\{1,2,3\}, N=\{2,3,4\}$ ，则 $C_{U}(M \cap$ N）＝

2．（5分）函数 $y=2 \sqrt{x}(x \geq 0)$ 的反函数为

3．（5分）设向量 $\vec{a} , \vec{b}$ 满足 $|\vec{a}|=|\vec{b}|=1, \vec{a} \bullet \vec{b}=-\frac{1}{2},|\vec{a}+2 \vec{b}|=$（）

4．（5分）若变量 $x , y$ 满足约束条件 $\left\{\begin{array}{l}x+y<6 \\ x-3 y \leqslant-2 \\ x \geqslant 1\end{array}\right.$ 则 $z=2 x+3 y$ 的最小值为（

5．（5分）下面四个条件中，使 $\mathrm{a}>\mathrm{b}$ 成立的充分而不必要的条件是（）

6．（5分）设 $S_{n}$ 为等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和，若 $a_{1}=1$ ，公差 $d=2, S_{k+2}-S_{k}=24$ ，则 $k=(\quad)$

7．（5分）设函数 $f(x)=\cos \omega x(\omega>0)$ ，将 $y=f(x)$ 的图象向右平移 $\frac{\pi}{3}$ 个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则 $\omega$ 的最小值等于（）

8．（5分）已知直二面角 $\alpha-I-\beta$ ，点 $A \in \alpha, A C \perp I, C$ 为垂足，点 $B \in \beta, B D \perp I, D$为垂足，若 $\mathrm{AB}=2, \mathrm{AC}=\mathrm{BD}=1$ ，则 $\mathrm{CD}=$（ ）

9．（5分） 4 位同学每人从甲、乙、丙 3 门课程中选修 1 门，则恰有 2 人选修课程

甲的不同选法共有

10．（5分）设 $f(x)$ 是周期为 2 的奇函数，当 $0 \leq x \leq 1$ 时，$f(x)=2 x(1-x)$ ，则 $f\left(-\frac{5}{2}\right)=$

11．（5分）设两圆 $\mathrm{C}_{1} , \mathrm{C}_{2}$ 都和两坐标轴相切，且都过点 $(4,1)$ ，则两圆心的距离 $\left|\mathrm{C}_{1} \mathrm{C}_{2}\right|=(\quad)$

12．（5分）已知平面 $\alpha$ 截一球面得圆 M ，过圆心 M 且与 $\alpha$ 成 $60^{\circ}$ 二面角的平面 $\beta$ 截该球面得圆 $N$ ，若该球的半径为 4 ，圆 $M$ 的面积为 $4 \pi$ ，则圆 $N$ 的面积为（

13．（5分）$(1-x)^{10}$ 的二项展开式中，$x$ 的系数与 $x^{9}$ 的系数之差为： 0

14．（5分）已知 $a \in\left(\pi, \frac{3 \pi}{2}\right), \tan \alpha=2$ ，则 $\cos \alpha=-\frac{\sqrt{5}}{5}$－

15．（5分）已知正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，$E$ 为 $C_{1} D_{1}$ 的中点，则异面直线 $A E$ 与 $B$ C所成的角的余弦值为 $-\frac{2}{3}$ —。

16．（5分）已知 $F_{1} , F_{2}$ 分别为双曲线C：$\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{27}=1$ 的左、右焦点，点A，CC，点 $M$ 的坐标为 $(2,0), A M$ 为 $\angle F_{1} A F_{2}$ 的平分线，则 $\left|A F_{2}\right|=$ $\_\_\_\_$ 6 ．

17．（10分）设等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，已知 $a_{2}=6,6 a_{1}+a_{3}=30$ ，求 $a_{n}$ 和 $S_{n}$

18．（12分）$\triangle A B C$ 的内角 $A , B , C$ 的对边分别为 $a , b , c$ ．已知 $a \sin A+c \sin C- \sqrt{2} \mathrm{a} \sin \mathrm{C}=\mathrm{b} \sin \mathrm{B}$,
（I）求B；
（II）若 $A=75^{\circ}, b=2$ ，求 $a, c$ ．

19．（12分）根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为 0.5 ，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为 0.3 ，设各车主购买保险相互独立．
（I）求该地 1 位车主至少购买甲、乙两种保险中的 1 种的概率；
（II）求该地的 3 位车主中恰有 1 位车主甲、乙两种保险都不购买的概率。

20．（12分）如图，四棱锥 $S-A B C D$ 中，$A B \| C D, B C \perp C D$ ，侧面 $S A B$ 为等边三角形， $\mathrm{AB}=\mathrm{BC}=2, ~ \mathrm{CD}=\mathrm{SD}=1$ ．
（I）证明： $\mathrm{SD} \perp$ 平面 SAB ；
（II）求 AB 与平面 SBC 所成的角的大小。

21．（12分）已知函数 $f(x)=x^{3}+3 a x^{2}+(3-6 a) x+12 a-4(a \in R)$
（I）证明：曲线 $\mathrm{y}=\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 在 $\mathrm{x}=0$ 处的切线过点 $(2,2)$ ；
（II）若 $f(x)$ 在 $x=x_{0}$ 处取得极小值，$x_{0} \in(1,3)$ ，求 $a$ 的取值范围。

22．（12分）已知 $O$ 为坐标原点，$F$ 为椭圆 $C$ ：$x^{2}+\frac{y^{2}}{2}=1$ 在 $y$ 轴正半轴上的焦点，过 F 且斜率为 $-\sqrt{2}$ 的直线 $l$ 与 C 交于 $\mathrm{A} , \mathrm{~B}$ 两点，点 P 满足 $\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{0}$ ．
（ I ）证明：点 P 在 C 上；
（II）设点 P 关于点 O 的对称点为 Q ，证明： $\mathrm{A} , \mathrm{P} , \mathrm{~B} , \mathrm{Q}$ 四点在同一圆上．