2010_退役省自主命题 (2010·理)
16、（本小题满分 14 分）
已知函数 $f(x)=A \sin (3 x+\varphi)\left(A>0, x \in(-\infty,+\infty), 0<\varphi<\pi\right.$ 在 $x=\frac{\pi}{12}$ 时取得最大值 4
（1）求 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 的最小正周期；
（2）求 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 的解析式；
（3）若 $\mathrm{f}\left(\frac{2}{3} \alpha+\frac{\pi}{12}\right)=\frac{12}{5}$ ，求 $\sin \alpha$
见解析
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【解答】
解：（1）$T=\frac{2 \pi}{3}$ ；
> ②由 $f(x)$ 的最大值是 4 知，$A=4$ ，
$f(x)_{\text {max }}=f\left(\frac{\pi}{12}\right)=4 \sin \left(3 \times \frac{\pi}{12}+\varphi\right)=4$ ，即 $\sin \left(\frac{\pi}{4}+\varphi\right)=1$ ，
$\because 0<\varphi<\pi, \therefore \frac{\pi}{4}<\frac{\pi}{4}+\varphi<\frac{5 \pi}{4} . \therefore \frac{\pi}{4}+\varphi=\frac{\pi}{2}, \therefore \varphi=\frac{\pi}{4}$.
$\therefore f(x)=4 \sin \left(3 x+\frac{\pi}{4}\right) ;$
> ③$f\left(\frac{2}{3} \alpha+\frac{\pi}{12}\right)=4 \sin \left[3\left(\frac{2}{3} \alpha+\frac{\pi}{12}\right)+\frac{\pi}{4}\right]=\frac{12}{5}$ ，即 $\sin \left[3\left(\frac{2}{3} \alpha+\frac{\pi}{12}\right)+\frac{\pi}{4}\right]=\frac{3}{5}$ ，
$\sin \left(2 \alpha+\frac{\pi}{2}\right)=\frac{3}{5}, \quad \cos 2 \alpha=\frac{3}{5}, \quad 1-2 \sin ^{2} \alpha=\frac{3}{5}, \quad \sin ^{2} \alpha=\frac{1}{5}, \quad \sin \alpha= \pm \frac{\sqrt{5}}{5}$ ．