20．（2012•浙江）如图，在侧棱垂直底面的四棱柱ABCD﹣ $\mathbf { A } _ { 1 } \mathbf { B } _ { 1 } \mathbf { C } _ { 1 } \mathbf { D } _ { 1 }$ 中，AD∥BC，AD⊥AB，$\scriptstyle \mathbf { A } \mathbf { B } = { \sqrt { 2 } }$ ．AD=2，BC=4， $\mathbf { A } \mathbf { A } _ { 1 } { = } 2$ ，E是 $\mathrm { D D } _ { 1 }$ 的中点，F是平面 $\mathrm { B } _ { 1 } \mathrm { C } _ { 1 } \mathrm { E }$ 与直线 $\mathbf { A A } _ { 1 }$ 的交点
（1）证明：
（i）EF∥ $\mathbf { A } _ { 1 } \mathbf { D } _ { 1 }$
（ii） $\mathrm { B A } _ { 1 } \perp$ 平面 $\mathrm { B } _ { 1 } \mathrm { C } _ { 1 } \mathrm { E F }$ ；
（2）求 $\mathrm { B C _ { 1 } }$ 与平面 $\mathrm { B } _ { 1 } \mathrm { C } _ { 1 }$ EF所成的角的正弦值
考点：直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定。
专题： 综合题。
分析：①（i）先由 $\mathrm { C _ { 1 } B _ { 1 } } | | \mathrm { A _ { 1 } D _ { 1 } }$ 证明 $\mathrm { C _ { 1 } B _ { 1 } } | |$ 平面 $\mathrm { \ A D D } _ { 1 } \mathrm { A } _ { 1 }$ ，再由线面平行的性质定理得出 $\mathrm { C _ { 1 } B _ { 1 } } | | \mathrm { E F }$ ，证出EF $| \mathbf { A } _ { 1 } \mathbf { D } _ { 1 }$
（ii）易通过证明 $\mathrm { B _ { 1 } C _ { 1 } \bot }$ 平面 $\mathrm { \ A B B _ { 1 } A _ { 1 } }$ 得出 $\mathrm { B } _ { 1 } \mathrm { C } _ { 1 } \mathrm { \bot B A _ { 1 } }$ ，再由 $\tan \angle A _ { 1 } B _ { 1 } \mathrm { F = t a n \angle A A _ { 1 } B = } \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } ,$ ，即
$$ \angle \mathrm { A _ { 1 } B _ { 1 } F = \angle A A _ { 1 } B } $$
$$ \mathrm { B A } _ { 1 } \bot \mathrm { B } _ { 1 } \mathrm { F } $$
$$ \mathrm { B A } _ { 1 } \perp $$
$$ \mathrm { B } _ { 1 } \mathrm { C } _ { 1 } \mathrm { E F } ; $$
> ②设 $\mathrm { B A } _ { 1 }$ 与 $\mathrm { B _ { 1 } F }$ 交点为H，连接 $\mathrm { C _ { 1 } H }$ ，由①知 $\mathrm { B A } _ { 1 } \perp$ 平面 $\mathrm { B _ { 1 } C _ { 1 } E F }$ ，所以 $\angle \mathrm { B C _ { 1 } H }$ 是 $\mathrm { B C _ { 1 } }$ 与平面 $\mathrm { B } _ { 1 } \mathrm { C } _ { 1 } \mathrm { E F }$ 所成的角．在 $\mathrm { R T } \triangle \mathrm { B H C } _ { 1 }$ 中求解即可
