（19）（本小题满分12分） 如图，在五面体 ABCDEF…——2010 高考数学第 21 题答案解析

【解答】
本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查空间想象能力，运算能力和推理论证能力。满分 12 分。
（I）解：因为四边形 ADEF 是正方形，所以FA／／ED．故 $\angle C E D$ 为异面直线 CE 与 AF 所成的角

因为 $\mathrm{FA} \perp$ 平面 ABCD ，所以 $\mathrm{FA} \perp \mathrm{CD}$ ．故 $\mathrm{ED} \perp \mathrm{CD}$ ．
在Rt $\triangle \mathrm{CDE}$ 中， $\mathrm{CD}=1, \mathrm{ED}=2 \sqrt{2}, \mathrm{CE}=\sqrt{C D^{2}+E D^{2}}=3$ ，故 $\cos \angle C E D=\frac{E D}{C E}=\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ ．

所以异面直线CE和AF所成角的余弦值为 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ ．
（II）证明：过点 B 作 $\mathrm{BG} / / \mathrm{CD}$ ，交 AD 于点 G ，
则 $\angle B G A=\angle C D A=45^{\circ}$ ．由 $\angle B A D=45^{\circ}$ ，可得 $\mathrm{BG} \perp \mathrm{AB}$ ，
从而 $\mathrm{CD} \perp \mathrm{AB}$ ，又 $\mathrm{CD} \perp \mathrm{FA}, \mathrm{FA} \cap \mathrm{AB}=\mathrm{A}$ ，所以 $\mathrm{CD} \perp$ 平面 ABF ．
（III）解：由（II）及已知，可得 $\mathrm{AG}=\sqrt{2}$ ，即 G 为 AD 的中点．取 EF

的中点 N ，连接 GN ，则 $\mathrm{GN} \perp \mathrm{EF}$ ，因为 $\mathrm{BC} / / \mathrm{AD}$ ，所以 $\mathrm{BC} / / \mathrm{EF}$ ．过点 N 作 $\mathrm{NM} \perp \mathrm{EF}$ ，交 BC 于 M ，则 $\angle G N M$ 为二面角 $\mathrm{B}-\mathrm{EF}-\mathrm{A}$ 的平面角。

连接 GM ，可得 $\mathrm{AD} \perp$ 平面 GNM ，故 $\mathrm{AD} \perp \mathrm{GM}$ ．从而 $\mathrm{BC} \perp \mathrm{GM}$ ．由已知，可得 $\mathrm{GM}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ ．由 $\mathrm{NG} / / \mathrm{FA}, \mathrm{F} \mathrm{A} \perp \mathrm{GM}$ ，得 $\mathrm{NG} \perp \mathrm{GM}$ 。

在Rt $\triangle \mathrm{NGM}$ 中， $\tan \angle G N M=\frac{\mathrm{GM}}{\mathrm{NG}}=\frac{1}{4}$ ，
所以二面角B－EF－A的正切值为 $\frac{1}{4}$ ．