2016_省自主命题（四川）
8. 设 O 为坐标原点，P 是以F为焦点的抛物线 $y ^ { 2 } = 2 p x ( \mathsf { p } > 0 )$ 上任意一点，M是线段PF上的点，且
$\scriptstyle \left| P M \right| = 2 \left| M F \right|$ ,则直线OM的斜率的最大值为（A） $\frac { \sqrt { 3 } } { 3 }$ （B） $\frac { 2 } { 3 }$ （C） $\frac { \sqrt { 2 } } { 2 }$ （D）1
C
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【答案】C
【解析】
试题分析：设 $P \left( 2 p t ^ { 2 } , 2 p t \right)$ ,M(x, y)（不妨设 $t > 0 )$ ），则 $\overrightarrow { F P } = \left( 2 p t ^ { 2 } - \frac { p } { 2 } , 2 p t \right)$ . 由已知得$\overrightarrow { F M } = \frac { 1 } { 3 } \overrightarrow { F P }$ $\left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle x - \displaystyle \frac { p } { 2 } = \frac { 2 p } { 3 } t ^ { 2 } - \displaystyle \frac { p } { 6 } } \\ { \displaystyle y = \displaystyle \frac { 2 p t } { 3 } , } \end{array} \right.$ $\begin{array} { l } { \displaystyle { \left[ x = \frac { 2 p } { 3 } t ^ { 2 } + \frac { p } { 3 } \right. } } \\ { \displaystyle { \left. y = \frac { 2 p t } { 3 } \mathrm { , } \right. } } \end{array}$ $\therefore k _ { O M } = \frac { 2 t } { 2 t ^ { 2 } + 1 } = \frac { 1 } { t + \frac { 1 } { 2 t } } \leq \frac { 1 } { 2 \sqrt { \frac { 1 } { 2 } } } = \frac { \sqrt { 2 } } { 2 }$
$\therefore \left( k _ { O M } \right) _ { \mathrm { m a x } } = \frac { \sqrt { 2 } } { 2 }$ ，故选C.
考点：抛物线的简单的几何性质，基本不等式的应用
【名师点睛】本题考查抛物线的性质，结合题意要求，利用抛物线的参数方程表示出抛物线上点P的坐标，利用向量法求出点M 的坐标，是我们求点坐标的常用方法，由于要求最大值，因此我们把k斜率用参数t表示出后，可根据表达式形式选用函数，或不等式的知识求出最值，本题采用基本不等式求出最值