（13 分）在 ABC 中， a =7, ~b =8, c…——2018 高考数学第 15 题答案解析

【考点】 HP ：正弦定理．

【专题】34：方程思想；4O：定义法；58：解三角形．
【分析】（I）由正弦定理结合大边对大角进行求解即可。
（II）利用余弦定理求出 c 的值，结合三角函数的高与斜边的关系进行求解即可。
【解答】解：（I）$\because \mathrm{a}<\mathrm{b}, \therefore \mathrm{A}<\mathrm{B}$ ，即 A 是锐角，
$\because \cos \mathrm{B}=-\frac{1}{7}, \quad \therefore \sin \mathrm{~B}=\sqrt{1-\cos ^{2} \mathrm{~B}}=\sqrt{1-\left(-\frac{1}{7}\right)^{2}}=\frac{4 \sqrt{3}}{7}$ ，
由正弦定理得 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$ 得 $\sin A=\frac{a \sin B}{b}=\frac{7 \times \frac{4 \sqrt{3}}{7}}{8}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，
则 $\mathrm{A}=\frac{\pi}{3}$ ．
（II）由余弦定理得 $b^{2}=a^{2}+c^{2}-2 a c \cos B$ ，
即 $64=49+\mathrm{c}^{2}+2 \times 7 \times \mathrm{c} \times \frac{1}{7}$ ，
即 $\mathrm{c}^{2}+2 \mathrm{c}-15=0$ ，
得 $(c-3)(c+5)=0$ ，
得 $c=3$ 或 $c=-5$（舍），
则 AC 边上的高 $\mathrm{h}=\mathrm{c} \sin \mathrm{A}=3 \times \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ ．
【点评】本题主要考查解三角形的应用，利用正弦定理以及余弦定理建立方程关系是解决本题的关键．