2008_省自主命题（四川）
14．（4 分）（2008•四川）函数 $\mathbf { \Pi } ( \mathbf { x } ) \mathbf { \Pi } = \sqrt { 3 } \mathbf { s } \mathrm { i n } \mathbf { x } - \mathsf { c o s } ^ { 2 } \mathbf { x }$ 的最大值是$\phantom { 0 } _ { - } \sqrt { 3 } \phantom { 0 }$
$\sqrt { 3 }$
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【考点】三角函数的最值
【专题】计算题；转化思想；配方法
【分析】先用同角三角函数基本关系式将 $\left( \cos \mathbf { x } \right) \ ^ { 2 }$ 转化为 $\begin{array} { r l } { 1 - } & { { } ( \sin \mathbf { x } ) ^ { \ 2 } } \end{array}$ 再用配方和换元法转化为关于sinx 的二次函数求最值
【解答】解： $\textrm { f } \left( \mathbf { x } \right) = \sqrt { 3 } \sin \mathbf { x } - \cos \mathbf { z } ^ { 2 } \mathbf { x } = \sin ^ { 2 } \mathbf { x } + \sqrt { 3 } \sin \mathbf { x } - 1 = \mathbf { \zeta } ( \sin \mathbf { x } + \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } ) ^ { 2 } - \frac { 7 } { 4 }$
当 sinx=1 时， $\textbf { f } ( \textbf { x } )$ 取最大值 $\sqrt { 3 }$
故答案为： $\sqrt { 3 }$
【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式和配方法，换元法，进一步考查二次函数求最值问题