（13分）在 A B C 中，内角A，B，C所对的边分别为…——2017 高考数学第 15 题答案解析

【解答】
（13分）（2017•天津）在 $\triangle A B C$ 中，内角A，B，C所对的边分别为 $a, b, c$ －已知 $a \sin \mathrm{~A}=4 b \sin \mathrm{~B}, a c=\sqrt{5}\left(a^{2}-b^{2}-c^{2}\right)$ ．
（I）求 $\cos \mathrm{A}$ 的值；
（II）求 $\sin (2 B-A)$ 的值．
【分析】（ I ）由正弦定理得 $a \sin B=b \sin A$ ，结合 $a \sin A=4 b \sin B$ ，得 $a=2 b$ ．再由 $a c=\sqrt{5}\left(a^{2}-b^{2}-c^{2}\right)$ ，得 $b^{2}+c^{2}-a^{2}=-\frac{\sqrt{5}}{5} a c$ ，代入余弦定理的推论可求 $\cos A$ 的值；
（II）由（I）可得 $\sin A=\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ，代入 $\operatorname{asin} A=4 b \sin B$ ，得 $\sin B$ ，进一步求得 $\cos B$
．利用倍角公式求 $\sin 2 B, \cos 2 B$ ，展开两角差的正弦可得 $\sin (2 B-A)$ 的值．
【解答】（I）解：由 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$ ，得 $a \sin B=b \sin A$ ，
又 $\operatorname{asin} A=4 b \sin B$ ，得 $4 b \sin B=a \sin A$ ，
两式作比得：$\frac{\mathrm{a}}{4 \mathrm{~b}}=\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{a}}, \therefore \mathrm{a}=2 \mathrm{~b}$ ．
由 $a c=\sqrt{5}\left(a^{2}-b^{2}-c^{2}\right)$ ，得 $b^{2}+c^{2}-a^{2}=-\frac{\sqrt{5}}{5} a c$ ，
由余弦定理，得 $\cos \mathrm{A}=\frac{\mathrm{b}^{2}+\mathrm{c}^{2}-\mathrm{a}^{2}}{2 \mathrm{bc}}=\frac{\frac{\sqrt{5}}{5} \mathrm{ac}}{\mathrm{ac}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$ ；
（II）解：由（I），可得 $\sin \mathrm{A}=\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ，代入 $\operatorname{asin} \mathrm{A}=4 \mathrm{~b} \sin \mathrm{~B}$ ，得

$\sin \mathrm{B}=\frac{\operatorname{asin} \mathrm{A}}{4 \mathrm{~b}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$.
由（I）知，$A$ 为钝角，则 $B$ 为锐角，
$\therefore \cos \mathrm{B}=\sqrt{1-\sin ^{2} \mathrm{~B}}=\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ．
于是 $\sin 2 \mathrm{~B}=2 \sin \mathrm{~B} \cos \mathrm{~B}=\frac{4}{5}, \cos 2 \mathrm{~B}=1-2 \sin ^{2} \mathrm{~B}=\frac{3}{5}$ ，
故 $\sin (2 B-A)=\sin 2 B \cos A-\cos 2 B \sin A=\frac{4}{5} \times\left(-\frac{\sqrt{5}}{5}\right)-\frac{3}{5} \times \frac{2 \sqrt{5}}{5}=-\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ．
【点评】本题考查三角形的解法，考查正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，是中档题．