2019_新课标I卷
16.已知双曲线C: $\frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } - \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a > 0 , b > 0 )$ 的左、右焦点分别为 $F _ { 1 }$ ， $F _ { 2 }$ ，过 $F _ { 1 }$ 的直线与C的两 条渐近线分别交于A，B两点．若 ${ \overrightarrow { F _ { 1 } A } } = { \overrightarrow { A B } }$ ${ \overrightarrow { F _ { 1 } B } } \cdot { \overrightarrow { F _ { 2 } B } } = 0$ ，则C的离心率为
2
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【答案】2.
【解析】
【分析】
本题考查平面向量结合双曲线的渐进线和离心率，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养．采取几何法，利用数形结合思想解题.
【详解】如图，
由 ${ \overrightarrow { F _ { 1 } A } } = { \overrightarrow { A B } } .$ 得 $F _ { 1 } A = A B . \supset O F _ { 1 } = O F _ { 2 }$ ，得OA是三角形 $F _ { 1 } F _ { 2 } B$ 的中位线，即$B F _ { \mathrm { { ? } } } / / O A , B F _ { \mathrm { { ? } } } = 2 O A .$ 由 $\overrightarrow { F _ { 1 } B { \bullet } F _ { 2 } B } = 0$ ，得 $F _ { 1 } B \perp F _ { 2 } B , O A \perp F _ { 1 } A$ ，则$O B = O F _ { 1 } = O F _ { 2 }$ ，有 $\angle O B F _ { 2 } = \angle B F _ { 2 } O = 2 \angle O B F _ { 1 } = 2 \angle O F _ { 1 } B , \angle A O B = \angle A O F _ { 1 }$ . 又OA与OB都是渐近线，得 $\angle B O F _ { 2 } = \angle A O F _ { 1 }$ ，则 $\angle B O F _ { \mathrm { 2 } } = 6 0 ^ { \circ }$ .又渐近线OB的斜率为${ \frac { b } { a } } = \tan 6 0 ^ { \circ } = { \sqrt { 3 } }$ ，所以该双曲线的离心率为 $e = { \frac { c } { a } } = { \sqrt { 1 + ( { \frac { b } { a } } ) ^ { 2 } } } = { \sqrt { 1 + ( { \sqrt { 3 } } ) ^ { 2 } } } = 2$
【点睛】此题若不能求出直角三角形的中位线的斜率将会思路受阻，即便知道双曲线渐近线斜率和其离心率的关系，也不能顺利求解，解题需要结合几何图形，关键得到$\angle B O F _ { 2 } = \angle A O F _ { 1 } = \angle B O A _ { 2 } = 6 0 ^ { \circ }$ ，即得到渐近线的倾斜角为 $6 0 ^ { 0 }$ ，从而突破问题障碍.