设函数 f(x)=sin (2 x- π 2 ), x R…——2008 高考数学第 3 题答案解析

【解答】
（5 分）（2008•天津）设函数 $f(x)=\cos ^{2}\left(x+\frac{\pi}{4}\right)-\sin ^{2}\left(x+\frac{\pi}{4}\right), x \in R$ ，则函数 $f(x)$ 是
A．最小正周期为 $\pi$ 的奇函数
B．最小正周期为 $\pi$ 的偶函数
C．最小正周期为 $\frac{\pi}{2}$ 的奇函数
D．最小正周期为 $\frac{\pi}{2}$ 的偶函数

【考点】二倍角的余弦；三角函数的周期性及其求法；余弦函数的奇偶性．
【分析】首先利用余弦的二倍角公式把原函数转化为 $\mathrm{y}=A \sin \omega \mathrm{x}$ 的形式，然后由 $\mathrm{y}=A \sin \omega \mathrm{x}$的性质得出相应的结论。
【解答】解：$f(x)=\cos ^{2}\left(x+\frac{\pi}{4}\right)-\sin ^{2}\left(x+\frac{\pi}{4}\right)$

$$ =\frac{1+\cos \left(2 x+\frac{\pi}{2}\right)}{2}-\frac{1-\cos \left(2 x+\frac{\pi}{2}\right)}{2} $$

$=-\sin 2 \mathrm{x}$
所以 $T=\pi$ ，且为奇函数．
故选 A。
【点评】本题考查余弦的二倍角公式及函数 $\mathrm{y}=\mathrm{A} \sin \omega \mathrm{x}$ 的性质．

【答案】B

【解析】【解答】
（5 分）（2008•天津）设函数 $f(x)=\cos ^{2}\left(x+\frac{\pi}{4}\right)-\sin ^{2}\left(x+\frac{\pi}{4}\right), x \in R$ ，则函数 $f(x)$ 是
A．最小正周期为 $\pi$ 的奇函数
B．最小正周期为 $\pi$ 的偶函数
C．最小正周期为 $\frac{\pi}{2}$ 的奇函数
D．最小正周期为 $\frac{\pi}{2}$ 的偶函数

【考点】二倍角的余弦；三角函数的周期性及其求法；余弦函数的奇偶性．
【分析】首先利用余弦的二倍角公式把原函数转化为 $\mathrm{y}=A \sin \omega \mathrm{x}$ 的形式，然后由 $\mathrm{y}=A \sin \omega \mathrm{x}$的性质得出相应的结论。
【解答】解：$f(x)=\cos ^{2}\left(x+\frac{\pi}{4}\right)-\sin ^{2}\left(x+\frac{\pi}{4}\right)$

$$ =\frac{1+\cos \left(2 x+\frac{\pi}{2}\right)}{2}-\frac{1-\cos \left(2 x+\frac{\pi}{2}\right)}{2} $$

$=-\sin 2 \mathrm{x}$
所以 $T=\pi$ ，且为奇函数．
故选 A。
【点评】本题考查余弦的二倍角公式及函数 $\mathrm{y}=\mathrm{A} \sin \omega \mathrm{x}$ 的性质．