记 S _ n 为数列 a _ n 的前n项和，设甲： a…——2023 高考数学第 7 题答案解析

【答案】C

【解析】

【分析】利用充分条件、必要条件的定义及等差数列的定义，再结合数列前 n 项和与第 n 项的关系推理判断作答.，【详解】方法1，甲： $\left\{ a _ { n } \right\}$ 为等差数列，设其首项为 $a _ { 1 }$ ，公差为 $d$ ，则 $S _ { n } = n a _ { 1 } + { \frac { n ( n - 1 ) } { 2 } } d , { \frac { S _ { n } } { n } } = a _ { 1 } + { \frac { n - 1 } { 2 } } d = { \frac { d } { 2 } } n + a _ { 1 } - { \frac { d } { 2 } } , { \frac { S _ { n + 1 } } { n + 1 } } - { \frac { S _ { n } } { n } } = { \frac { d } { 2 } }$ 因此 $\{ { \frac { S _ { n } } { n } } \}$ 为等差数列，则甲是乙的充分条件；反之， ${ \cal Z } : \{ \frac { S _ { n } } { n } \}$ 为等差数列，即 $\frac { S _ { n + 1 } } { n + 1 } { - \frac { S _ { n } } { n } } = \frac { n S _ { n + 1 } - ( n + 1 ) S _ { n } } { n ( n + 1 ) } = \frac { n a _ { n + 1 } - S _ { n } } { n ( n + 1 ) }$ 为常数，设为t，即 ${ \frac { n a _ { n + 1 } - S _ { n } } { n ( n + 1 ) } } = t$ ，则 $S _ { n } = n a _ { n + 1 } - t \cdot n ( n + 1 )$ ，有 $S _ { n - 1 } = ( n - 1 ) a _ { n } - t \cdot n ( n - 1 ) , n \geq 2$ 两式相减得： $\displaystyle a _ { n } = n a _ { n + 1 } - ( n - 1 ) a _ { n } - 2 t n$ ，即 $a _ { n + 1 } - a _ { n } = 2 t$ ，对n =1也成立，

因此 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 为等差数列，则甲是乙的必要条件，

所以甲是乙的充要条件，C正确.

方法2，甲： $\left\{ a _ { n } \right\}$ 为等差数列，设数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 的首项 $a _ { 1 }$ ，公差为 $d$ ，即 $S _ { n } = n a _ { 1 } + { \frac { n ( n - 1 ) } { 2 } } d$ 则 $\frac { S _ { n } } { n } = a _ { 1 } + \frac { ( n - 1 ) } { 2 } d = \frac { d } { 2 } n + a _ { 1 } - \frac { d } { 2 }$ ，因此 $\{ { \frac { S _ { n } } { n } } \}$ 为等差数列，即甲是乙的充分条件；反之， $\displaystyle Z \colon \{ { \frac { S _ { n } } { n } } \}$ 等差数列，即为 ${ \frac { S _ { n + 1 } } { n + 1 } } - { \frac { S _ { n } } { n } } = D , { \frac { S _ { n } } { n } } = S _ { 1 } + ( n - 1 ) D$ 即 $S _ { n } = n S _ { 1 } + n ( n - 1 ) D , S _ { n - 1 } = ( n - 1 ) S _ { 1 } + ( n - 1 ) ( n - 2 ) D$ 当 $n \geq 2$ 时，上两式相减得： $S _ { n } - S _ { n - 1 } = S _ { 1 } + 2 ( n - 1 ) D$ ，当 $n = 1$ 时，上式成立，于是 $a _ { n } = a _ { 1 } + 2 ( n - 1 ) D$ ，又 $a _ { n + 1 } - a _ { n } = a _ { 1 } + 2 n D - [ a _ { 1 } + 2 ( n - 1 ) D ] = 2 D$ 为常数，因此 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 为等差数列，则甲是乙 必要条件，的所以甲是乙的充要条件.故选：C