（5分）已知三棱柱 A B C - A _ 1 B _ 1…——2008 高考数学第 11 题答案解析

【考点】LP：空间中直线与平面之间的位置关系

【专题】11：计算题；31：数形结合；4R：转化法；5G：空间角

【分析】法一：由题意可知三棱锥 $\mathsf { A } _ { 1 } - \mathsf { A B C }$ 为正四面体，设棱长为2，求出 $\mathsf { A B } _ { 1 }$ 及三棱锥的高，由线面角的定义可求出答案；

法二：先求出点 ${ \sf A } _ { 1 }$ 到底面的距离 $\mathsf { A } _ { 1 } \mathsf { D }$ 的长度，即知点 $\mathsf { B } _ { 1 }$ 到底面的距离 $\mathsf { B } _ { 1 } \mathsf { E }$ 的长度，再求出AE的长度，在直角三角形 $\mathsf { A E B } _ { 1 }$ 中求 ${ \sf A B } _ { 1 }$ 与底面ABC所成角的正切，再由同角三角函数的关系求出其正弦

【解答】解：（法一）因为三棱柱 $\mathsf { A B C } - \mathsf { A } _ { 1 } \mathsf { B } _ { 1 } \mathsf { C } _ { 1 }$ 的侧棱与底面边长都相等， $\mathsf { A } _ { 1 }$ 在底面ABC内的射影为 $\Delta A B C$ 的中心，设为D，所以三棱锥 $\mathsf { A } _ { 1 } - \mathsf { A B C }$ 为正四面体，设棱长为2，则 $\triangle \mathsf { A A } _ { 1 } \mathsf { B } _ { 1 }$ 是顶角为 $\ b { 1 2 0 ^ { \circ } }$ 等腰三角形，所以 ${ \sf A B _ { 1 } } \mathrm { = } 2 \times 2 \times \sin 6 0 ^ { \circ } \mathrm { = } 2 \sqrt { 3 } , { \sf A _ { 1 } D } \mathrm { = } \sqrt { 2 ^ { 2 } - ( \frac { 2 } { 3 } \times \sqrt { 3 } ) ^ { 2 } } \mathrm { = } \frac { 2 \sqrt { 6 } } { 3 } ,$ 所以 $\mathsf { A B } _ { 1 }$ 与底面ABC所成角的正弦值为 $\frac { A _ { 1 } D } { A B _ { 1 } } = \frac { \frac { 2 \sqrt { 6 } } { 3 } } { 2 \sqrt { 3 } } = \frac { \sqrt { 2 } } { 3 }$

（法二）由题意不妨令棱长为2，点 $\mathsf { B } _ { 1 }$ 到底面的距离是 $\mathsf { B } _ { 1 } \mathsf { E }$ ，如图， ${ \sf A } _ { 1 }$ 在底面ABC内的射影为 $\triangle A B C$ 的中心，设为D，故 $D A = \frac { 2 \sqrt { 3 } } { 3 }$ 由勾股定理得 $A _ { 1 } D = \sqrt { 4 - \frac { 4 } { 3 } } = \frac { 2 \sqrt { 6 } } { 3 }$ 故 $B _ { 1 } E = \frac { 2 \sqrt { 6 } } { 3 }$ 如图作 $A _ { 1 } S \bot A B$ 于中点S，过B1作AB的垂线段，垂足为F，$B F = 1 , ~ B _ { 1 } F = A _ { 1 } S = \sqrt { 3 } , ~ \mathsf { A F } = 3$ 在直角三角形 $\mathsf { B } _ { 1 } \mathsf { A } \mathsf { F }$ 中用勾股定理得： $A B _ { 1 } = 2 \sqrt { 3 } ,$ 所以 $\mathsf { A B } _ { 1 }$ 与底面ABC所成角的正弦值 $\sin \angle B _ { 1 } A E = \frac { \frac { 2 \sqrt { 6 } } { 3 } } { 2 \sqrt { 3 } } = \frac { \sqrt { 2 } } { 3 }$ 故选：B

【点评】本题考查了几何体的结构特征及线面角的定义，还有点面距与线面距的转化，考查了转化思想和空间想象能力