已知数列 a _ n 满足 a _ 1 = 1 , a _…——2022 高考数学第 10 题答案解析

【答案】B

【解析】

【分析】先通过递推关系式确定 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 除去 $a _ { 1 }$ ，其他项都在(0,1) 范围内，再利用递推公式变形得到

$\frac { 1 } { a _ { n + 1 } } - \frac { 1 } { a _ { n } } = \frac { 1 } { 3 - a _ { n } } > \frac { 1 } { 3 }$ ，累加可求出 $\frac { 1 } { a _ { n } } > \frac { 1 } { 3 } ( n + 2 )$ ，得出 $1 0 0 a _ { 1 0 0 } < 3$ ，再利用

${ \frac { 1 } { a _ { n + 1 } } } - { \frac { 1 } { a _ { n } } } = { \frac { 1 } { 3 - a _ { n } } } < { \frac { 1 } { 3 - { \frac { 3 } { n + 2 } } } } = { \frac { 1 } { 3 } } { \left( 1 + { \frac { 1 } { n + 1 } } \right) }$ ，累加可求出 ${ \frac { 1 } { a _ { n } } } - 1 < { \frac { 1 } { 3 } } { \big ( } n - 1 { \big ) } + { \frac { 1 } { 3 } } { \Bigg ( } { \frac { 1 } { 2 } } + { \frac { 1 } { 3 } } + \cdots + { \frac { 1 } { n } } { \Bigg ) }$ ，再次

$$ 1 0 0 a _ {1 0 0} > \frac {5}{2} $$

【详解】 $\because a _ { \mathrm { 1 } } = \mathrm { 1 }$ ，易得 $a _ { 2 } = \frac { 2 } { 3 } \in \left( 0 , 1 \right)$ ，依次类推可得 $a _ { n } \in \left( 0 , 1 \right)$

由题意， $a _ { n + 1 } = a _ { n } \left( 1 - { \frac { 1 } { 3 } } a _ { n } \right)$ ，即 $\frac { 1 } { a _ { n + 1 } } = \frac { 3 } { a _ { n } \left( 3 - a _ { n } \right) } = \frac { 1 } { a _ { n } } + \frac { 1 } { 3 - a _ { n } }$

$$ \therefore \frac {1}{a _ {n + 1}} - \frac {1}{a _ {n}} = \frac {1}{3 - a _ {n}} > \frac {1}{3}, $$

$$ \frac {1}{a _ {2}} - \frac {1}{a _ {1}} > \frac {1}{3}, \frac {1}{a _ {3}} - \frac {1}{a _ {2}} > \frac {1}{3}, \frac {1}{a _ {4}} - \frac {1}{a _ {3}} > \frac {1}{3}, \dots , \frac {1}{a _ {n}} - \frac {1}{a _ {n - 1}} > \frac {1}{3}, (n \geq 2), $$

累加可得 $\frac { 1 } { a _ { n } } - 1 > \frac { 1 } { 3 } \left( n - 1 \right)$ ，即 $\frac { 1 } { a _ { n } } > \frac { 1 } { 3 } ( n + 2 ) , ( n \geq 2 )$

$\therefore a _ { n } < { \frac { 3 } { n + 2 } } , ( n \geq 2 )$ ，即 $a _ { _ { 1 0 0 } } < \frac { 1 } { 3 4 } , 1 0 0 a _ { _ { 1 0 0 } } < \frac { 1 0 0 } { 3 4 } < 3$

$$ \frac {1}{a _ {n + 1}} - \frac {1}{a _ {n}} = \frac {1}{3 - a _ {n}} < \frac {1}{3 - \frac {3}{n + 2}} = \frac {1}{3} \Bigg (1 + \frac {1}{n + 1} \Bigg), (n \geq 2) $$

$$ \therefore \frac {1}{a _ {2}} - \frac {1}{a _ {1}} = \frac {1}{3} \left(1 + \frac {1}{2}\right), \frac {1}{a _ {3}} - \frac {1}{a _ {2}} < \frac {1}{3} \left(1 + \frac {1}{3}\right), \frac {1}{a _ {4}} - \frac {1}{a _ {3}} < \frac {1}{3} \left(1 + \frac {1}{4}\right), \dots , $$

$$ \frac {1}{a _ {n}} - \frac {1}{a _ {n - 1}} < \frac {1}{3} \left(1 + \frac {1}{n}\right), (n \geq 3) $$

累加可得 ${ \frac { 1 } { a _ { n } } } - 1 < { \frac { 1 } { 3 } } { \big ( } n - 1 { \big ) } + { \frac { 1 } { 3 } } { \Bigg ( } { \frac { 1 } { 2 } } + { \frac { 1 } { 3 } } + \cdots + { \frac { 1 } { n } } { \Bigg ) } , ( n \geq 3 )$

$$ \therefore \frac {1}{a _ {1 0 0}} - 1 < 3 3 + \frac {1}{3} \left(\frac {1}{2} + \frac {1}{3} + \dots + \frac {1}{9 9}\right) < 3 3 + \frac {1}{3} \left(\frac {1}{2} \times 4 + \frac {1}{6} \times 9 4\right) < 3 9, $$

即 $\frac { 1 } { a _ { 1 0 0 } } < 4 0 , : : a _ { 1 0 0 } > \frac { 1 } { 4 0 }$ ，即 $1 0 0 a _ { 1 0 0 } > \frac { 5 } { 2 }$ ；

综上： $\frac { 5 } { 2 } < 1 0 0 a _ { 1 0 0 } < 3$

故选：B

【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用递推关系进行合理变形放缩

非选择题部分（共 110 分）