（本小题满分 14 分） 设函数 f_ n (x)=x^…——2012 高考数学第 20 题答案解析

## 【解析】

（1）当 $b=1, c=-1, n \geq 2$ 时，$f(x)=x^{n}+x-1$ ，
$\because f\left(\frac{1}{2}\right) f(1)=\left(\frac{1}{2^{n}}-\frac{1}{2}\right) \times 1<0, \therefore f(x)$ 在 $\left(\frac{1}{2}, 1\right)$ 内有零点．
又 ∵ 当 $x \in\left(\frac{1}{2}, 1\right), f^{\prime}(x)=n x^{n-1}+1>0, \therefore f(x)$ 在区间 $\left(\frac{1}{2}, 1\right)$
内单调递增，$\therefore f(x)$ 在 $\left(\frac{1}{2}, 1\right)$ 内有唯一的零点．
（2）依题意知 $\left\{\begin{array}{l}-1 \leq f(-1) \leq 1, \\ -1 \leq f(1) \leq 1,\end{array} \therefore\left\{\begin{array}{l}0 \leq b-c \leq 2 \\ -2 \leq b+c \leq 0 .\end{array}\right.\right.$

画出可行域得知 $b+3 c$ 在点 $(0,-20$ 处取得最小值 -6 。
在点 $(0,0)$ 处取得最大值 0 ，因而 $b+3 c$ 的最小值 -6 ，
最大值 0 ．

（3）当 $\mathrm{n}=2$ 时，$f(x)=x^{2}+b x+c$ ，
若 $\left|\frac{b}{2}\right|>1$ ，即 $|b|>2$ 时，
$f(x)$ 最 大 值 $M=|f(1)-f(-1)|=2|b|>4$ 与 题 设 矛 盾．
若 $-1 \leq-\frac{b}{2} \leq 0$ ，即 $0$M=f(1)-f\left(-\frac{b}{2}\right)=\left(\frac{b}{2}+1\right)^{2} \leq 4$ 恒成立．
若 $0 \leq-\frac{b}{2} \leq 1$ ，即 $-2 \leq b \leq 0$ ，时，
$M=M=f(1)-f\left(-\frac{b}{2}\right)=\left(\frac{b}{2}-1\right)^{2} \leq 4$ 恒成立．
综上：$-2 \leq b \leq 2$ 。
【考点定位】本题综合考察函数与导数，函数与方程，导数应用以及恒成立问题．考察分析问题解决问题的能力，推理论证的能力，运算能力等．