2015_北京卷
17．（14 分）如图，在四棱锥 A﹣EFCB 中， $\triangle A E F$ 为等边三角形，平面 $\mathsf { A E F \bot }$ 平面 EFCB，EF∥BC，BC=4，EF=2a， $\angle E B C = \angle F C B = 6 0 ^ { \circ }$ ，O为EF的中点
（Ⅰ）求证：AO⊥BE
（Ⅱ）求二面角F﹣AE﹣B的余弦值；
（Ⅲ）若 $\tt B E \bot$ 平面 AOC，求 a 的值
见解析
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【考点】LW：直线与平面垂直；MJ：二面角的平面角及求法
【专题】5F：空间位置关系与距离；5G：空间角
【分析】（Ⅰ）根据线面垂直的性质定理即可证明 $A O \bot B E$
（Ⅱ）建立空间坐标系，利用向量法即可求二面角F﹣AE﹣B的余弦值；
（Ⅲ）利用线面垂直的性质，结合向量法即可求a的值
【解答】证明：（Ⅰ）∵△AEF为等边三角形，O为EF的中点，
$. { \mathsf { A O } } \bot { \mathsf { E F } } .$
∵平面 AEF⊥平面 EFCB，AO⊂平面 AEF，
$\therefore \mathsf { A O \perp }$ 平面 EFCB
$\therefore A O \bot B E .$
（Ⅱ）取BC的中点G，连接OG，
∵EFCB 是等腰梯形，
$\therefore 0 G \bot E F .$
由（Ⅰ）知AO⊥平面EFCB，
$\because O G \subset$ 平面 $\mathtt { E F C B } , \mathtt { \Gamma } \mathtt { \backslash } \mathtt { \cdot } \mathtt { O A } \bot 0 6$
建立如图的空间坐标系，
则 OE=a，BG=2，GH=a，（a≠2），BH=2﹣a， $E { \mathsf { H } } = { \mathsf { B H t a n } } 6 0 ^ { \circ } = { \sqrt { 3 } } \left( 2 - { \bar { \mathsf { a } } } \right)$
则 E（a，0，0），A（0，0， a），B（2， ，0），
=（﹣a，0， a）， =（a﹣2，﹣ ，0），
设平面AEB的法向量为 $\stackrel { } { \boldsymbol { \mathrm { r } } } = ( \boldsymbol { \mathrm { x } } , \boldsymbol { \mathrm { y } } , \boldsymbol { \mathrm { z } } )$
则 $\left\{ \begin{array} { l } { { \vec { \mathbf { n } } } \bullet { \overline { { \mathbb { E } \mathbb { A } } } } = 0 } \\ { { \vec { \mathbf { \Lambda } } } \bullet { \overline { { \mathbb { B } \mathbb { E } } } } = 0 } \end{array} \right.$ ，即 $\scriptstyle \left\{ { \begin{array} { l } { \scriptstyle - \mathbf { a x } + { \sqrt { 3 } } \mathbf { a z } = 0 } \\ { \scriptstyle ( \mathbf { a } - 2 ) \mathbf { x } + { \sqrt { 3 } } ( \mathbf { a } - 2 ) \mathbf { y } = 0 } \end{array} } \right. ,$
令 $\scriptstyle { \mathsf { Z } } = 1$ ，则 $\scriptstyle \mathsf { x } = \sqrt { 3 } , \mathsf { y } = - \ 1$
即 $\vec { \mathrm { \bf { r } } } = \left( \sqrt { 3 } , \mathrm { ~ ~ { ~ - ~ } } 1 , \mathrm { ~ ~ { ~ 1 ~ } ~ } \right)$
平面AEF的法向量为 $\stackrel { } { \pi } = ( 0 , \ 1 , \ 0 )$
则 $\cos < \frac { } { \pi } , \frac { } { \pi } > = \frac { \frac { } { \pi } + \frac { } { \pi } } { | \frac { } { \pi } | | \frac { } { \pi } | } = \frac { \sqrt { 5 } } { 5 }$
即二面角 $\mathsf { F } - \mathsf { A E } - \mathsf { B }$ 的余弦值为 $\frac { \sqrt { 5 } } { 5 }$
（Ⅲ）若 $\tt B E \bot$ 平面 AOC，
则 $\mathtt { B E \perp O C }$
即 $\overrightarrow { B E } \cdot \overrightarrow { O C } = 0$
$$ \because \overrightarrow { B E } = ( a - 2 , ~ - \sqrt { 3 } ( 2 - a ) , ~ 0 ) , \overrightarrow { O C } = ( - 2 , \sqrt { 3 } ( 2 - a ) , ~ 0 ) , $$
$$ \therefore \overrightarrow { B E } = \overrightarrow { O C } = - 2 ( \overrightarrow { a } - 2 ) - 3 ( \overrightarrow { a } - 2 ) ^ { 2 } = 0 , $$
解得 $a { = } \frac { 4 } { 3 }$
【点评】本题主要考查空间直线和平面垂直的判定以及二面角的求解，建立坐标系利用向量法是解决空间角的常用方法