2014_北京卷
15．（13 分）已知 $\{ \mathsf { a } _ { \mathsf { n } } \}$ 是等差数列，满足 $\mathsf { a } _ { 1 } = 3 , \mathsf { a } _ { 4 } = 1 2$ ，数列 $\{ { \sf b } _ { \sf n } \}$ 满足 $\mathsf { b } _ { 1 } = 4$ $b _ { 4 } = 2 0$ ，且 $\{ \boldsymbol { \mathsf { b } } _ { \mathsf { n } } - \mathsf { a } _ { \mathsf { n } } \}$ 为等比数列
（1）求数列 $\{ \mathsf { a } _ { \mathsf { n } } \}$ 和 $\{ { \sf b } _ { \sf n } \}$ 的通项公式；
（2）求数列 $\{ { \sf b } _ { \sf n } \}$ 的前n项和
见解析
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【考点】8E：数列的求和
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；54：等差数列与等比数列
【分析】（1）利用等差数列、等比数列的通项公式先求得公差和公比，即得结论；
（2）利用分组求和法，有等差数列及等比数列的前 n 项和公式即可求得数列的和．
【解答】解： $( 1 ) \because \{ \mathsf { a } _ { \mathsf { n } } \}$ 是等差数列，满足 $\mathtt { a } _ { 1 } = 3 , \mathtt { a } _ { 4 } = 1 2$
$\therefore 3 + 3 d = 1 2$ ，解得 d=3，
$$ \therefore a _ { n } = 3 + ( n - 1 ) \times 3 = 3 n . $$
设等比数列 $\{ \boldsymbol { \mathsf { b } } _ { \mathsf { n } } - \mathsf { a } _ { \mathsf { n } } \}$ 的公比为 q，则
$$ a ^ { 3 } = \frac { b _ { 4 } - a _ { 4 } } { b _ { 1 } - a _ { 1 } } = \frac { 2 0 - 1 2 } { 4 - 3 } = 8 , \therefore a = 2 , $$
$$ \therefore b _ { n } - a _ { n } = ( b _ { 1 } - a _ { 1 } ) \ q ^ { n - 1 } = 2 ^ { n - 1 } , $$
$$ \therefore b _ { n } = 3 n + 2 ^ { n - 1 } ( n = 1 , 2 , \ldots ) . $$
> ②由（1）知 $b _ { n } = 3 n + 2 ^ { n - 1 } ( n = 1 , 2 , \ldots )$
$\because$ 数列 $\{ \mathsf { a } _ { \mathsf { n } } \}$ 的前 n 项和为 $\frac { 3 } { 2 } n ( n + 1 )$
数列{2<sup>n</sup>﹣<sup>1</sup>}的前 n 项和为 $\scriptstyle 1 \times { \frac { 1 - 2 ^ { \mathtt { n } } } { 1 - 2 } } = 2 ^ { \mathtt { n } } - 1$
$\therefore$ 数列 $\{ { \sf b } _ { \sf n } \}$ 的前 n 项和为 $\frac { 3 } { 2 } n ( n + 1 ) + 2 ^ { n } - 1$
【点评】本题考查数列的通项公式和前n 项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列和等比数列的性质的合理运用