（12分）如图，三棱柱 A B C - A _ 1 B _…——2012 高考数学第 19 题答案解析

【考点】L2：棱柱的结构特征；LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LY：平面与平面垂直

【专题】11：计算题；14：证明题

【分析】（Ⅰ）由题意易证 $\mathsf { D C } _ { 1 } \bot$ 平面BDC，再由面面垂直的判定定理即可证得平面 ${ \mathsf { B D C } } _ { 1 } \bot$ 平面BDC；

（Ⅱ）设棱锥 $\mathsf { B } - \mathsf { D A C C } _ { 1 }$ 的体积为 $\mathsf { V } _ { 1 }$ ，AC=1，易求 $\mathsf { V } _ { 1 } = \frac { 1 } { 3 } \times \frac { 1 + 2 } { 2 } \times 1 \times 1 = \frac { 1 } { 2 }$ ，三棱柱AB$\mathsf { C } - \mathsf { A } _ { 1 } \mathsf { B } _ { 1 } \mathsf { C } _ { 1 }$ 的体积V=1，于是可得 $( \mathsf { V } - \mathsf { V } _ { 1 } )$ $\mathsf { V } _ { 1 } \mathsf { = } 1$ ：1，从而可得答案

【解答】证明：（1）由题意知 $| \mathsf { B C } \bot \mathsf { C C } _ { 1 }$ ${ \tt B C \bot A C }$ ${ \mathsf { C C } } _ { 1 } \cap { \mathsf { A C } } = { \mathsf { C } }$

$\therefore \mathsf { B C \bot }$ 平面 $\mathsf { A C C } _ { 1 } \mathsf { A } _ { 1 }$ ，又 $\mathsf { D C } _ { 1 } \mathsf { C }$ 平面 $\mathsf { A C C } _ { 1 } \mathsf { A } _ { 1 }$

$$ \therefore D C _ { 1 } \bot B C . $$

由题设知 $\angle A _ { 1 } D C _ { 1 } = \angle A D C = 4 5 ^ { \circ }$

$\therefore \angle C \mathsf { D C } _ { 1 } = 9 0 ^ { \circ }$ ，即 $\mathsf { D C } _ { 1 } \bot \mathsf { D C }$ ，又 $D C / / B C = C$

$\therefore \mathsf { D C } _ { 1 } \bot$ 平面BDC，又 $\mathsf { D C } _ { 1 } \mathsf { C }$ 平面 $\mathsf { B D C } _ { 1 }$

$\therefore$ 平面 ${ \mathsf { B D C } } _ { 1 } \bot$ 平面BDC；

> ②设棱锥 $\mathsf { B } - \mathsf { D A C C } _ { 1 }$ 的体积为 $\mathsf { N } _ { 1 }$ ，AC=1，由题意得 $\mathsf { V } _ { 1 } = \frac { 1 } { 3 } \times \frac { 1 + 2 } { 2 } \times 1 \times 1 = \frac { 1 } { 2 }$ 又三棱柱 $\mathsf { A B C } - \mathsf { A } _ { 1 } \mathsf { B } _ { 1 } \mathsf { C } _ { 1 }$ 的体积V=1，

∴（V﹣V₁）：V₁=1：1，

∴平面 $\mathsf { B D C } _ { 1 }$ 分此棱柱两部分体积的比为1：1

【点评】本题考查平面与平面垂直的判定，着重考查线面垂直的判定定理的应用与棱柱、棱锥的体积，考查分析，表达与运算能力，属于中档题