（5分）已知函数 f(x)= array l |x|+2,…——2017 高考数学第 8 题答案解析

【解答】
（5分）（2017•天津）已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}|x|+2, x<1 \\ x+\frac{2}{x}, x \geqslant 1 .\end{array}\right.$ 设 $a \in R$ ，若关于 $x$ 的不等式 $f(x) \geqslant\left|\frac{x}{2}+a\right|$ 在 $R$ 上恒成立，则 $a$ 的取值范围是（）
A．$[-2,2]$
B．$[-2 \sqrt{3}, 2]$
C．$[-2,2 \sqrt{3}]$
D．$[-2 \sqrt{3}, 2 \sqrt{3}]$

【分析】根据题意，作出函数 $f(x)$ 的图象，令 $g(x)=\left|\frac{x}{2}+a\right|$ ，分析 $g(x)$ 的图象特点，将不等式 $f(x) \geqslant\left|\frac{x}{2}+a\right|$ 在 $R$ 上恒成立转化为函数 $f(x)$ 的图象在 $g$（ x）上的上方或相交的问题，分析可得 $f(0) \geqslant g(0)$ ，即 $2 \geqslant|a|$ ，解可得 $a$ 的取值范围，即可得答案。

【解答】解：根据题意，函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}|x|+2, x<1 \\ x+\frac{2}{x}, x \geqslant 1 .\end{array}\right.$ 的图象如图：
令 $g(x)=\left|\frac{x}{2}+a\right|$ ，其图象与 $x$ 轴相交与点 $(-2 a, 0)$ ，
在区间 $(-\infty,-2 \mathrm{a})$ 上为减函数，在 $(-2 \mathrm{a},+\infty)$ 为增函数，
若不等式 $f(x) \geqslant\left|\frac{x}{2}+a\right|$ 在 $R$ 上恒成立，则函数 $f(x)$ 的图象在
$\mathrm{g}(\mathrm{x})$ 上的上方或相交，
则必有 f （ 0 ）$\geqslant \mathrm{g}$（ 0 ），
即 $2 \geqslant|a|$ ，
解可得 $-2 \leqslant a \leqslant 2$ ，
故选：A．

【点评】本题考查分段函数的应用，关键是作出函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 的图象，将函数的恒成立问题转化为图象的上下位置关系。