（5分）设两圆 C _ 1、 C _ 2 都和两坐标轴相切…——2011 高考数学第 11 题答案解析

【考点】 J1：圆的标准方程．
【专题】5B：直线与圆．
【分析】圆在第一象限内，设圆心的坐标为 $(a, a), ~(b, b)$ ，利用条件可得 $a$ 和 $b$ 分别为 $x^{2}-10 x+17=0$

的两个实数根，再利用韦达定理求得两圆心的距离 $\left|\mathrm{C}_{1} \mathrm{C}_{2}\right|=\sqrt{2} \cdot \sqrt{(\mathrm{a}-\mathrm{b})^{2}}$ 的值

【解答】解：∵ 两圆 $\mathrm{C}_{1} , \mathrm{C}_{2}$ 都和两坐标轴相切，且都过点 $(4,1)$ ，故圆在第一象限内，

设两个圆的圆心的坐标分别为（ $a, a$ ），（ $b, b$ ），由于两圆都过点（ 4,1 ）

则有 $\sqrt{(a-4)^{2}+(a-1)^{2}}=|a|,\left|\sqrt{(b-4)^{2}+(b-1)^{2}}=|b|\right.$ ，
故 a 和 b 分别为 $(\mathrm{x}-4)^{2}+(\mathrm{x}-1)^{2}=\mathrm{x}^{2}$ 的两个实数根，
即 a 和 b 分别为 $\mathrm{x}^{2}-10 \mathrm{x}+17=0$ 的两个实数根，$\therefore \mathrm{a}+\mathrm{b}=10, ~ \mathrm{ab}=17$ ，
$\therefore(a-b)^{2}=(a+b)^{2}-4 a b=32, \therefore$ 两圆心的距离 $\left|C_{1} C_{2}\right|=\sqrt{2} \cdot \sqrt{(a-b)^{2}}=8$ ，
故选：C．
【点评】本题考查直线和圆相切的性质，两点间的距离公式、韦达定理的应用 ，属于基础题．