【答案】B
【解析】
试题分析：由题意 $\overrightarrow { x _ { 1 } } \cdot \overrightarrow { y _ { 1 } } + \overrightarrow { x _ { 2 } } \cdot \overrightarrow { y _ { 2 } } + \overrightarrow { x _ { 3 } } \cdot \overrightarrow { y _ { 3 } } + \overrightarrow { x _ { 4 } } \cdot \overrightarrow { y _ { 4 } }$ 有以下三种可能： $\textcircled { 1 } \overline { { a } } \cdot \overline { { a } } + \overline { { a } } \cdot \overline { { a } } + \overline { { b } } \cdot \overline { { b } } + \overline { { b } } \cdot \overline { { b } }$ $= 2 \mid \overline { { { \alpha } } } \mid ^ { 2 } + 2 \mid \overline { { { b } } } \mid ^ { 2 } = { \bf 1 0 } \mid \overline { { { \alpha } } } \mid ^ { 2 } ; ( \overline { { { 2 } } } ) \overline { { { \alpha } } } \cdot \overline { { { b } } } + \overline { { { \alpha } } } \cdot \overline { { { b } } } + \overline { { { b } } } \cdot \overline { { { \alpha } } } + \overline { { { b } } } \cdot \overline { { { \alpha } } } = 4 \overline { { { \alpha } } } \cdot \overline { { { b } } } = 4 \mid \overline { { { \alpha } } } \mid \cdot \mid \overline { { { b } } } \mid = 4 \mid \overline { { { \alpha } } } \mid \cdot 2 \mid \overline { { { \alpha } } } \mid \cos \left. \overline { { { \alpha } } } , \overline { { { b } } } \right.$ $= 8 \mid \overline { { { a } } } \mid ^ { 2 } \cos \left. \overline { { { a } } } , \overline { { { b } } } \right. , \overline { { { ( \overline { { { \Delta } } } ) } } } \overline { { { a } } } \cdot \overline { { { a } } } + \overline { { { a } } } \cdot \overline { { { b } } } + \overline { { { b } } } \cdot \overline { { { b } } } + \overline { { { b } } } \cdot \overline { { { a } } } = 2 \overline { { { a } } } \cdot \overline { { { b } } } + \mid \overline { { { a } } } \mid \cdot \mid \overline { { { a } } } \mid + \mid \overline { { { b } } } \mid \cdot \mid \overline { { { b } } } \mid$ $= 5 \mid \vec { \alpha } \mid ^ { 2 } + 4 \mid \vec { \alpha } \mid ^ { 2 } \cos \left\{ \vec { \alpha } , \vec { \mathcal { b } } \right\}$ ，已知第②种情况原式的值最小，即 $8 | \stackrel { - } { \alpha } | ^ { 2 } \cos \{ \stackrel { - } { \alpha } , \stackrel { - } { \cal b } \} = 4 | \stackrel { - } { \alpha } | ^ { 2 }$ ，解得$\cos \left\{ { \bar { a } } , { \bar { b } } \right\} = { \frac { 1 } { 2 } }$ ，即 ${ \bigl \langle } { \bar { a } } , { \bar { b } } { \bigr \rangle } = { \frac { \pi } { 3 } }$ ，故选B.
考点：1.向量的数量积运算；2.分类讨论思想的应用
第ⅠI卷（非选择题共100分）
二.选择题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.