（4分）（2008－山东）已知 a, b, c 为 A B…——2008 高考数学第 14 题答案解析

【解答】
（4分）（2008 • 山东）已知 $a, b, c$ 为 $\triangle A B C$ 的三个内角 $A, B, C$ 的对边，向量 $\vec{\pi}= (\sqrt{3},-1), \vec{n}=(\cos A, \sin A)$ 。若 $\vec{\pi} \perp \vec{n}$ ，且 $\operatorname{acos} B+b \cos A=c \sin C$ ，则角 $B=-\frac{\pi}{6}$ 。

【分析】由向量数量积的意义，有 $\overrightarrow{\mathrm{m}} \perp \overrightarrow{\mathrm{n}} \Rightarrow \sqrt{3} \cos \mathrm{~A}-\sin \mathrm{A}=0$ ，进而可得 A ，再根据正弦定理，可得 $\sin A \cos B+\sin B \cos A=\sin C \sin C$ ，结合和差公式的正弦形式，化简可得 $\sin C=\sin ^{2} C$ ，可得 $C$ ，由 $A , C$ 的大小，可得答案。
【解答】解：根据题意， $\overrightarrow{\mathrm{m}} \perp \overrightarrow{\mathrm{n}} \Rightarrow \sqrt{3} \cos \mathrm{~A}-\sin \mathrm{A}=0 \Rightarrow \mathrm{~A}=\frac{\pi}{3}$ ，
由正弦定理可得， $\sin \mathrm{A} \cos \mathrm{B}+\sin \mathrm{B} \cos \mathrm{A}=\sin \mathrm{C} \sin \mathrm{C}$ ，
又由 $\sin \mathrm{A} \cos \mathrm{B}+\sin \mathrm{B} \cos \mathrm{A}=\sin (\mathrm{A}+\mathrm{B})=\sin \mathrm{C}$ ，
化简可得， $\sin C=\sin ^{2} C$ ，
则 $\mathrm{C}=\frac{\pi}{2}$ ，
则 $\mathrm{B}=\frac{\pi}{6}$ ，
故答案为 $\frac{\pi}{6}$ ．