若 α (0, π 2 ), tan 2 α= cos α…——2021 高考数学第 11 题答案解析

【答案】A

【解析】

【分析】由二倍角公式可得 $\tan 2 \alpha=\frac{\sin 2 \alpha}{\cos 2 \alpha}=\frac{2 \sin \alpha \cos \alpha}{1-2 \sin ^{2} \alpha}$ ，再结合已知可求得 $\sin \alpha=\frac{1}{4}$ ，利用同角三角函数的基本关系即可求解．

【详解】 $\because \tan 2 \alpha=\frac{\cos \alpha}{2-\sin \alpha}$
$\therefore \tan 2 \alpha=\frac{\sin 2 \alpha}{\cos 2 \alpha}=\frac{2 \sin \alpha \cos \alpha}{1-2 \sin ^{2} \alpha}=\frac{\cos \alpha}{2-\sin \alpha}$ ，
$\because \alpha \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right), \therefore \cos \alpha \neq 0, \therefore \frac{2 \sin \alpha}{1-2 \sin ^{2} \alpha}=\frac{1}{2-\sin \alpha}$ ，解得 $\sin \alpha=\frac{1}{4}$ ，
$\therefore \cos \alpha=\sqrt{1-\sin ^{2} \alpha}=\frac{\sqrt{15}}{4}, \quad \therefore \tan \alpha=\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}=\frac{\sqrt{15}}{15}$ ．
故选：A．
【点睛】关键点睛：本题考查三角函数的化简问题，解题的关键是利用二倍角公式化简求出 $\sin \alpha$ ．