【解答】
本小题主要考查等差数列的通项公式，等比数列的通项公式及前n项和公式等基础知识.考查等差数列求和的基本方法和运算求解能力.满分13分.
（I）解：设等比数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 的公比为q.由 $a _ { 1 } = 1 , a _ { 3 } = a _ { 2 } + 2 .$ 可得 $q ^ { 2 } - q - 2 = 0$
因为 $q > 0$ ，可得 $q = 2$ ，故 $a _ { n } = 2 ^ { n - 1 }$
设等差数列 $\{ b _ { n } \}$ 的公差为d，由 $a _ { 4 } = b _ { 3 } + b _ { 5 }$ ，可得 $b _ { 1 } + 3 d = 4$ . 由 $a _ { 5 } = b _ { 4 } + 2 b _ { 6 }$
可得 $3 b _ { 1 } + 1 3 d = 1 6 .$ , 从而 $b _ { 1 } = 1 , d = 1$ , 故 $b _ { n } = n .$
所以数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 的通项公式为 $a _ { n } = 2 ^ { n - 1 }$ ，数列 $\{ b _ { n } \}$ 的通项公式为 $b _ { n } = n$
（II）（i）由（I），有 $S _ { n } = { \frac { 1 - 2 ^ { n } } { 1 - 2 } } = 2 ^ { n } - 1$ ，故
$$
T _ { n } = \sum _ { k = 1 } ^ { n } ( 2 ^ { k } - 1 ) = \sum _ { k = 1 } ^ { n } 2 ^ { k } - n = { \frac { 2 \times ( 1 - 2 ^ { n } ) } { 1 - 2 } } - n = 2 ^ { n + 1 } - n - 2 .
$$
（ii）证明：因为
$$
\frac { ( T _ { k } + b _ { k + 2 } ) b _ { k } } { ( k + 1 ) ( k + 2 ) } = \frac { ( 2 ^ { k + 1 } - k - 2 + k + 2 ) k } { ( k + 1 ) ( k + 2 ) } = \frac { k \cdot 2 ^ { k + 1 } } { ( k + 1 ) ( k + 2 ) } = \frac { 2 ^ { k + 2 } } { k + 2 } - \frac { 2 ^ { k + 1 } } { k + 1 } ,
$$
所以， $\sum _ { k = 1 } ^ { n } { \frac { ( T _ { k } + b _ { k + 2 } ) b _ { k } } { ( k + 1 ) ( k + 2 ) } } = ( { \frac { 2 ^ { 3 } } { 3 } } - { \frac { 2 ^ { 2 } } { 2 } } ) + ( { \frac { 2 ^ { 4 } } { 4 } } - { \frac { 2 ^ { 3 } } { 3 } } ) + \cdots + ( { \frac { 2 ^ { n + 2 } } { n + 2 } } - { \frac { 2 ^ { n + 1 } } { n + 1 } } ) = { \frac { 2 ^ { n + 2 } } { n + 2 } } - 2 .$