V A B C 中， D 为 A B 边中点， C E =…——2025 高考数学第 14 题答案解析

【答案】
①．$\frac{1}{6} \vec{a}+\frac{2}{3} \vec{b}$ ；
②．-15

【解析】
【分析】根据向量的线性运算求解即可空一，应用数量积运算律计算求解空二．
【详解】如图，

因为 $\overrightarrow{C E}=\frac{1}{3} \overrightarrow{C D}$ ，所以 $\overrightarrow{A E}-\overrightarrow{A C}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{A D}-\overrightarrow{A C})$ ，所以 $\overrightarrow{A E}=\frac{1}{3} \overrightarrow{A D}+\frac{2}{3} \overrightarrow{A C}$ 。
因为 $D$ 为线段 $A B$ 的中点，所以 $\overrightarrow{A E}=\frac{1}{6} \overrightarrow{A B}+\frac{2}{3} \overrightarrow{A C}=\frac{1}{6} \vec{a}+\frac{2}{3} \vec{b}$ ；
又因为 $|\overrightarrow{A E}|=5, A E \perp C B$ ，所以 $\overrightarrow{A E}^{2}=\left(\frac{1}{6} \vec{a}+\frac{2}{3} \vec{b}\right)^{2}=\frac{1}{36} \vec{a}^{2}+\frac{2}{9} \vec{a} \cdot \vec{b}+\frac{4}{9} \vec{b}^{2}=25$ ，

$$ \overrightarrow{A E} \cdot \overrightarrow{C B}=\left(\frac{1}{6} \vec{a}+\frac{2}{3} \vec{b}\right) \cdot(\vec{a}-\vec{b})=\frac{1}{6} \vec{a}^{2}+\frac{1}{2} \vec{a} \cdot \vec{b}-\frac{2}{3} \vec{b}^{2}=0 \text {, 所以 } \vec{a}^{2}+3 \vec{a} \cdot \vec{b}=4 \vec{b}^{2} $$

所以 $\vec{a}^{2}+4 \vec{a} \cdot \vec{b}=180$ ，
所以 $\overrightarrow{A E} \cdot \overrightarrow{C D}=\left(\frac{1}{6} \vec{a}+\frac{2}{3} \vec{b}\right) \cdot\left(-\vec{b}+\frac{1}{2} \vec{a}\right)=\frac{1}{12} \vec{a}^{2}+\frac{1}{6} \vec{a} \cdot \vec{b}-\frac{2}{3} \vec{b}^{2}=\frac{1}{12}\left(\vec{a}^{2}+2 \vec{a} \cdot \vec{b}-8 \vec{b}^{2}\right)$

$$ =\frac{1}{12}\left(\vec{a}^{2}+2 \vec{a} \cdot \vec{b}-2 \vec{a}^{2}-6 \vec{a} \cdot \vec{b}^{2}\right)=\frac{1}{12}\left(-\vec{a}^{2}-4 \vec{a} \cdot \vec{b}^{2}\right)=-15 . $$

故答案为：$\frac{1}{6} \vec{a}+\frac{2}{3} \vec{b} ;-15$ ．