2025_天津卷 (2025)
14．V $A B C$ 中，$D$ 为 $A B$ 边中点， $\overrightarrow{C E}=\frac{1}{3} \overrightarrow{C D}, \overrightarrow{A B}=\vec{a}, \overrightarrow{A C}=\vec{b}$ ，则 $\overrightarrow{A E}=$ $\_\_\_\_$（用 $\vec{a}, \vec{b}$ 表示），若 $|\overrightarrow{A E}|=5$ ， $A E \perp C B$ ，则 $\overrightarrow{A E} \cdot \overrightarrow{C D}=$ $\_\_\_\_$
(1) $\frac{1}{6} \vec{a}+\frac{2}{3} \vec{b}$; (2) -15
【答案】
①．$\frac{1}{6} \vec{a}+\frac{2}{3} \vec{b}$ ；
②．-15
【解析】
【分析】根据向量的线性运算求解即可空一，应用数量积运算律计算求解空二．
【详解】如图，
因为 $\overrightarrow{C E}=\frac{1}{3} \overrightarrow{C D}$ ，所以 $\overrightarrow{A E}-\overrightarrow{A C}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{A D}-\overrightarrow{A C})$ ，所以 $\overrightarrow{A E}=\frac{1}{3} \overrightarrow{A D}+\frac{2}{3} \overrightarrow{A C}$ 。
因为 $D$ 为线段 $A B$ 的中点，所以 $\overrightarrow{A E}=\frac{1}{6} \overrightarrow{A B}+\frac{2}{3} \overrightarrow{A C}=\frac{1}{6} \vec{a}+\frac{2}{3} \vec{b}$ ；
又因为 $|\overrightarrow{A E}|=5, A E \perp C B$ ，所以 $\overrightarrow{A E}^{2}=\left(\frac{1}{6} \vec{a}+\frac{2}{3} \vec{b}\right)^{2}=\frac{1}{36} \vec{a}^{2}+\frac{2}{9} \vec{a} \cdot \vec{b}+\frac{4}{9} \vec{b}^{2}=25$ ，
$$ \overrightarrow{A E} \cdot \overrightarrow{C B}=\left(\frac{1}{6} \vec{a}+\frac{2}{3} \vec{b}\right) \cdot(\vec{a}-\vec{b})=\frac{1}{6} \vec{a}^{2}+\frac{1}{2} \vec{a} \cdot \vec{b}-\frac{2}{3} \vec{b}^{2}=0 \text {, 所以 } \vec{a}^{2}+3 \vec{a} \cdot \vec{b}=4 \vec{b}^{2} $$
所以 $\vec{a}^{2}+4 \vec{a} \cdot \vec{b}=180$ ，
所以 $\overrightarrow{A E} \cdot \overrightarrow{C D}=\left(\frac{1}{6} \vec{a}+\frac{2}{3} \vec{b}\right) \cdot\left(-\vec{b}+\frac{1}{2} \vec{a}\right)=\frac{1}{12} \vec{a}^{2}+\frac{1}{6} \vec{a} \cdot \vec{b}-\frac{2}{3} \vec{b}^{2}=\frac{1}{12}\left(\vec{a}^{2}+2 \vec{a} \cdot \vec{b}-8 \vec{b}^{2}\right)$
$$ =\frac{1}{12}\left(\vec{a}^{2}+2 \vec{a} \cdot \vec{b}-2 \vec{a}^{2}-6 \vec{a} \cdot \vec{b}^{2}\right)=\frac{1}{12}\left(-\vec{a}^{2}-4 \vec{a} \cdot \vec{b}^{2}\right)=-15 . $$
故答案为：$\frac{1}{6} \vec{a}+\frac{2}{3} \vec{b} ;-15$ ．