向量法高考真题解析

14. $\triangle A B C$ 中，D为AB边中点， $\overrightarrow { C E } = \frac { 1 } { 3 } \overrightarrow { C D } , \overrightarrow { A B } = \vec { a } , \overrightarrow { A C } = \vec { b }$ ，则 $\overrightarrow { A E }$ =\_\_(用a,b表示)，若 $| { \overrightarrow { A E } } | =$ 5, $A E \bot C B$ ，则 ${ \overrightarrow { A E } } \cdot { \overrightarrow { C D } } =$

14．V $A B C$ 中，$D$ 为 $A B$ 边中点， $\overrightarrow{C E}=\frac{1}{3} \overrightarrow{C D}, \overrightarrow{A B}=\vec{a}, \overrightarrow{A C}=\vec{b}$ ，则 $\overrightarrow{A E}=$ $\_\_\_\_$（用 $\vec{a}, \vec{b}$ 表示），若 $|\overrightarrow{A E}|=5$ ， $A E \perp C B$ ，则 $\overrightarrow{A E} \cdot \overrightarrow{C D}=$ $\_\_\_\_$

17. （15分）. 如图，四边形ABCD中， $A B \parallel C D$ $\angle D A B = 9 0 ^ { \circ }$ ，F为CD中点，E在AB上， $E F \mid \mid A D \ , A B = 3 A D , C D = 2 A D$ 。将四边形 EFDA 沿 EF翻折至四边形

$E F D ^ { ' } A ^ { ' }$ ，使得面 $E F D ^ { ' } A$ 与面EFCB所成的二面角为60°

（1）证明： $\dot { A ^ { \prime } } B \parallel$ 平面 $C D ^ { ' } F$

(2) 求面 $B C D '$ 与面 $E F D ^ { ' } A ^ { ' }$ 所成二面角的正弦值.

17．已知四棱锥 $P-A B C D, A D / / B C, A B=B C=1, A D=3, D E=P E=2, E$ 是 $A D$ 上一点， $P E \perp A D$ ．

（1）若 $F$ 是 $P E$ 中点，证明：$B F / /$ 平面 $P C D$ ．
（2）若 $A B \perp$ 平面 $P E D$ ，求平面 $P A B$ 与平面 $P C D$ 夹角的余弦值．

19．如图，在以 $A, B, C, D, E, F$ 为顶点的五面体中，四边形 $A B C D$ 与四边形 $A D E F$ 均为等腰梯形， $B C / / A D, E F / / A D, A D=4, A B=B C=E F=2, E D=\sqrt{10}, F B=2 \sqrt{3}$ ，$M$ 为 $A D$ 的中点．

（1）证明：$B M / /$ 平面 $C D E$ ；
（2）求二面角 $F-B M-E$ 的正弦值．

17．已知四棱柱 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面 $A B C D$ 为梯形，$A B / / C D, A_{1} A \perp$ 平面 $A B C D$ ， $A D \perp A B$ ，其中 $A B=A A_{1}=2, A D=D C=1 . N$ 是 $B_{1} C_{1}$ 的中点，$M$ 是 $D D_{1}$ 的中点．

（1）求证 $D_{1} N / /$ 平面 $C B_{1} M$ ；
（2）求平面 $C B_{1} M$ 与平面 $B B_{1} C C_{1}$ 的夹角余弦值；
（3）求点 $B$ 到平面 $C B_{1} M$ 的距离．

3．已知向量 $\vec{a}=(0,1), \vec{b}=(2, x)$ ，若 $\vec{b} \perp(\vec{b}-4 \vec{a})$ ，则 $x=$（ ）

3．已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{a}|=1,|\vec{a}+2 \vec{b}|=2$ ，且 $(\vec{b}-2 \vec{a}) \perp \vec{b}$ ，则 $|\vec{b}|=$（）

17．如图，平面四边形 $A B C D$ 中，$A B=8, C D=3, A D=5 \sqrt{3}, \angle A D C=90^{\circ}, \angle B A D=30^{\circ}$ ，点 $E$ ， $F$ 满足 $\overrightarrow{A E}=\frac{2}{5} \overrightarrow{A D}, \overrightarrow{A F}=\frac{1}{2} \overrightarrow{A B}$ ，将 $\triangle A E F$ 沿 $E F$ 对折至！$P E F$ ，使得 $P C=4 \sqrt{3}$ ．

（1）证明：$E F \perp P D$ ；
（2）求面 $P C D$ 与面 $P B F$ 所成的二面角的正弦值．

3. 已知向量 $\vec { a } = ( 0 , 1 ) , \vec { b } = ( 2 , x )$ ，若 $\vec { b } \perp ( \vec { b } - 4 \vec { a } )$ ，则x =（ ）

16．如图，在三棱锥 $P-A B C$ 中，$P A \perp$ 平面 $A B C, P A=A B=B C=1, P C=\sqrt{3}$ ．

（1）求证：$B C \perp$ 平面 $P A B$ ；
（2）求二面角 $A-P C-B$ 的大小．

11. 在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面ABCD为正方形， $A B = 4 , P C = P D = 3 , \angle P C A = 4 5 ^ { \circ }$ ，则 $\triangle \mathrm { P B C }$ 的面积为（ ）

4．向量 $|\vec{a}|=|\vec{b}|=1,|\vec{c}|=\sqrt{2}$ ，且 $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\overrightarrow{0}$ ，则 $\cos \langle\vec{a}-\vec{c}, \vec{b}-\vec{c}\rangle=$（）

11．在四棱锥 $P-A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为正方形，$A B=4, P C=P D=3, \angle P C A=45^{\circ}$ ，则 $\triangle \mathrm{PBC}$ 的面积为（ ）

3．已知向量 $\vec{a}=(3,1), \vec{b}=(2,2)$ ，则 $\cos \langle\vec{a}+\vec{b}, \vec{a}-\vec{b}\rangle=$（）

19．如图，在三棱锥 $P-A B C$ 中，$A B \perp B C, A B=2, B C=2 \sqrt{2}, P B=P C=\sqrt{6}, B P, A P, B C$的中点分别为 $D, E, O, A D=\sqrt{5} D O$ ，点 $F$ 在 $A C$ 上，$B F \perp A O$ ．

（1）证明：$E F / /$ 平面 $A D O$ ；

（2）证明：平面 $A D O \perp$ 平面 $B E F$ ；
（3）求二面角 $D-A O-C$ 的正弦值．

3．已知向量 $\vec{a}=(1,1), \vec{b}=(1,-1)$ ，若 $(\vec{a}+\lambda \vec{b}) \perp(\vec{a}+\mu \vec{b})$ ，则（）

18．如图，在正四棱柱 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，$A B=2, A A_{1}=4$ ．点 $A_{2}, B_{2}, C_{2}, D_{2}$ 分别在棱 $A A_{1}, B B_{1}, C C_{1}, D D_{1}$ 上，$A A_{2}=1, B B_{2}=D D_{2}=2, C C_{2}=3$ 。

（1）证明：$B_{2} C_{2} / / A_{2} D_{2}$ ；
（2）点 $P$ 在棱 $B B_{1}$ 上，当二面角 $P-A_{2} C_{2}-D_{2}$ 为 $150^{\circ}$ 时，求 $B_{2} P$ ．

20．如图，三棱锥 $A-B C D$ 中，$D A=D B=D C, B D \perp C D, \angle A D B=\angle A D C=60^{\circ}, E$ 为 $B C$ 的中点．

（1）证明：$B C \perp D A$ ；
（2）点 $F$ 满足 $\overrightarrow{E F}=\overrightarrow{D A}$ ，求二面角 $D-A B-F$ 的正弦值．

17．如图，在三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，侧面 $B C C_{1} B_{1}$ 为正方形，平面 $B C C_{1} B_{1} \perp$ 平面 $A B B_{1} A_{1}, A B=B C=2, M, N$ 分别为 $A_{1} B_{1}, A C$ 的中点．

（1）求证：$M N / /$ 平面 $B C C_{1} B_{1}$ ；
（2）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线 $A B$ 与平面 $B M N$ 所成角的正弦值．

条件①：$A B \perp M N$ ；

条件②：$B M=M N$ ．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分。

18．在四棱锥 $P-A B C D$ 中，$P D \perp$ 底面 $A B C D, C D / / A B, A D=D C=C B=1, A B=2, D P=\sqrt{3}$ ．

（1）证明：$B D \perp P A$ ；
（2）求 $P D$ 与平面 $P A B$ 所成的角的正弦值．

13．已知向量 $\vec{a}=(m, 3), \vec{b}=(1, m+1)$ ．若 $\vec{a} \perp \vec{b}$ ，则 $m=$ $\_\_\_\_$ ．

7. 在正方体 $ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ 中, $E, F$ 分别为 $AB, BC$ 的中点, 则 ( )

9．在正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，$E, F$ 分别为 $A B, B C$ 的中点，则（ ）

17．直三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，$A A_{1}=A B=A C=2, A A_{1} \perp A B, A C \perp A B, D$ 为 $A_{1} B_{1}$ 的中点，$E$ 为 $A A_{1}$ 的中点，$F$ 为 $C D$ 的中点．

（1）求证：$E F / /$ 平面 $A B C$ ；
（2）求直线 $B E$ 与平面 $C C_{1} D$ 所成角的正弦值；
（3）求平面 $A_{1} C D$ 与平面 $C C_{1} D$ 所成二面角的余弦值．

3．在 $\triangle A B C$ 中，点 $D$ 在边 $A B$ 上，$B D=2 D A$ 。记 $\overrightarrow{C A}=\vec{m}, \overrightarrow{C D}=\vec{n}$ ，则 $\overrightarrow{C B}=$（）

19．如图，直三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 的体积为 $4, \triangle A_{1} B C$ 的面积为 $2 \sqrt{2}$ ．

（1）求 $A$ 到平面 $A_{1} B C$ 的距离；
（2）设 $D$ 为 $A_{1} C$ 的中点，$A A_{1}=A B$ ，平面 $A_{1} B C \perp$ 平面 $A B B_{1} A_{1}$ ，求二面角 $A-B D-C$ 的正弦值．

19．如图，已知 $A B C D$ 和 $C D E F$ 都是直角梯形，$A B / / D C, D C / / E F, A B=5, D C=3$ ， $E F=1, \angle B A D=\angle C D E=60^{\circ}$ ，二面角 $F-D C-B$ 的平面角为 $60^{\circ}$ ．设 $M, N$ 分别为 $A E, B C$ 的中点．

（1）证明：$F N \perp A D$ ；
（2）求直线 $B M$ 与平面 $A D E$ 所成角的正弦值．

19.

已知直三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，侧面 $A A_{1} B_{1} B$ 为正方形，$A B=B C=2, E, F$ 分别为 $A C$ 和 $C C_{1}$ 的中点 ，$D$ 为棱 $A_{1} B_{1}$ 上的点．$B F \perp A_{1} B_{1}$

（1）证明：$B F \perp D E$ ；
（2）当 $B_{1} D$ 为何值时，面 $B B_{1} C_{1} C$ 与面 $D F E$ 所成的二面角的正弦值最小？

17.

如图，在棱长为 2 的正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，$E$ 为棱 $B C$ 的中点，$F$ 为棱 $C D$ 的中点

（I）求证：$D_{1} F / /$ 平面 $A_{1} E C_{1}$ ；
（II）求直线 $A C_{1}$ 与平面 $A_{1} E C_{1}$ 所成角的正弦值．
（III）求二面角 $A-A_{1} C_{1}-E$ 的正弦值．

12．在正三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，$A B=A A_{1}=1$ ，点 $P$ 满足 $\overrightarrow{B P}=\lambda \overrightarrow{B C}+\mu \overrightarrow{B B_{1}}$ ，其中 $\lambda \in[0,1]$ ， $\mu \in[0,1]$ ，则（ ）

14.

已知 $O$ 为坐标原点，抛物线 $C: y^{2}=2 p x(p>0)$ 的焦点为 $F, P$ 为 $C$ 上一点，$P F$ 与 $x$ 轴垂直，$Q$ 为 $x$ 轴上一点，且 $P Q \perp O P$ ，若 $|F Q|=6$ ，则 $C$ 的准线方程为

15．已知向量 $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\overrightarrow{0},|\vec{a}|=1,|\vec{b}|=|\vec{c}|=2, \vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b} \cdot \vec{c}+\vec{c} \cdot \vec{a}=$

16．如图，在正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，$E$ 为 $B B_{1}$ 的中点．

（I）求证：$B C_{1} / /$ 平面 $A D_{1} E$ ；
（II）求直线 $A A_{1}$ 与平面 $A D_{1} E$ 所成角的正弦值．

24．在三棱锥 $A$ —
$B C D$ 中，已知 $C B=C D=\sqrt{5}, B D=2, O$ 为 $B D$ 的中点，$A O \perp$ 平面 $B C D, A O=2, E$ 为 $A C$ 的中点．

（1）求直线 $A B$ 与 $D E$ 所成角的余弦值；
（2）若点 $F$ 在 $B C$ 上，满足 $B F=\frac{1}{4} B C$ ，设二面角 $F-D E-C$ 的大小为 $\theta$ ，求 $\sin \theta$ 的值．

9．三角形 $A B C$ 中，$D$ 是 $B C$ 中点，$A B=2, B C=3, A C=4$ ，则 $A \vec{D} \cdot \vec{A} B$ $\_\_\_\_$

17．已知四棱锥 $P-A B C D$ ，底面 $A B C D$ 为正方形，边长为 $3, P D \perp$ 平面 $A B C D$ ．
（1）若 $P C=5$ ，求四棱锥 $P-A B C D$ 的体积；
（2）若直线 $A D$ 与 $B P$ 的夹角为 $60^{\circ}$ ，求 $P D$ 的长．

14．设 $a, b$ 为单位向量，且 $|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|=1$ ，则 $|a-b|=$

18．如图，$D$ 为圆锥的顶点，$O$ 是圆锥底面的圆心，$A E$ 为底面直径，$A E=A D . \triangle A B C$是底面的内接正三角形，$P$ 为 $D O$ 上一点，$P O=\frac{\sqrt{6}}{6} D O$ ．

（1）证明：$P A \perp$ 平面 $P B C$ ；
（2）求二面角 $B-P C-E$ 的余弦值．

14．设向量 $\boldsymbol{a} = (1, -1), \boldsymbol{b} = (m+1, 2m-4)$，若 $\boldsymbol{a} \perp \boldsymbol{b}$，则 $m = \underline{\hspace{3cm}}$．