向量法高考真题解析

14．在边长为 1 的正方形 $A B C D$ 中，点 $E$ 为线段 $C D$ 的三等分点，$C E=\frac{1}{2} D E, \stackrel{\operatorname{ur}}{B E}=\lambda B A+\mu B C$ ，则 $\lambda+\mu=$ $\_\_\_\_$ ；若 $F$ 为线段 $B E$ 上的动点，$G$ 为 $A F$ 中点，则 $\overrightarrow{A F} \cdot \overrightarrow{D G}$ 的最小值为 $\_\_\_\_$ ．

17．已知四棱柱 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面 $A B C D$ 为梯形，$A B / / C D, A_{1} A \perp$ 平面 $A B C D$ ， $A D \perp A B$ ，其中 $A B=A A_{1}=2, A D=D C=1 . N$ 是 $B_{1} C_{1}$ 的中点，$M$ 是 $D D_{1}$ 的中点．

（1）求证 $D_{1} N / /$ 平面 $C B_{1} M$ ；
（2）求平面 $C B_{1} M$ 与平面 $B B_{1} C C_{1}$ 的夹角余弦值；
（3）求点 $B$ 到平面 $C B_{1} M$ 的距离．

16．如图，在三棱锥 $P-A B C$ 中，$P A \perp$ 平面 $A B C, P A=A B=B C=1, P C=\sqrt{3}$ ．

（1）求证：$B C \perp$ 平面 $P A B$ ；
（2）求二面角 $A-P C-B$ 的大小．

18．在三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，$A A_{1}=2, A_{1} C \perp$ 底面 $A B C, \angle A C B=90^{\circ}, A_{1}$ 到平面 $B C C_{1} B_{1}$ 的距离为 1.

（1）求证：$A C=A_{1} C$ ；
（2）若直线 $A A_{1}$ 与 $B B_{1}$ 距离为 2 ，求 $A B_{1}$ 与平面 $B C C_{1} B_{1}$ 所成角的正弦值．

7．设 $F_{1}, F_{2}$ 为椭圆 $C: \frac{x^{2}}{5}+y^{2}=1$ 的两个焦点，点 $P$ 在 $C$ 上，若 $\overrightarrow{P F_{1}} \cdot \overrightarrow{P F_{2}}=0$ ，则 $\left|P F_{1}\right| \cdot\left|P F_{2}\right|=$

6．正方形 $A B C D$ 的边长是 $2, E$ 是 $A B$ 的中点，则 $\overrightarrow{E C} \cdot \overrightarrow{E D}=$

19．如图，在三棱锥 $P-A B C$ 中，$A B \perp B C, A B=2, B C=2 \sqrt{2}, P B=P C=\sqrt{6}, B P, A P, B C$ 的中点分别为 $D, E, O$ ，点 $F$ 在 $A C$ 上，$B F \perp A O$ ．

（1）求证：$E F / /$ 平面 $A D O$ ；
（2）若 $\angle P O F=120^{\circ}$ ，求三棱锥 $P-A B C$ 的体积．

14．在 $\triangle A B C$ 中，$\angle A=60^{\circ}, B C=1$ ，点 $D$ 为 $A B$ 的中点，点 $E$ 为 $C D$ 的中点，若设 $\overrightarrow{A B}=\vec{a}, \overrightarrow{A C}=\vec{b}$ ，则 $\overrightarrow{A E}$ 可用 $\vec{a}, \vec{b}$ 表示为 $\_\_\_\_$ ；若 $\overrightarrow{B F}=\frac{1}{3} \overrightarrow{B C}$ ，则 $\overrightarrow{A E} \cdot \overrightarrow{A F}$ 的最大值为 $\_\_\_\_$。

17．三棱台 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，若 $A_{1} A \perp$ 面 $A B C, A B \perp A C, A B=A C=A A_{1}=2, A_{1} C_{1}=1, M, N$ 分别是 $B C, B A$ 中点．

（1）求证：$A_{1} N / /$ 平面 $C_{1} M A$ ；
（2）求平面 $C_{1} M A$ 与平面 $A C C_{1} A_{1}$ 所成夹角的余弦值；
（3）求点 $C$ 到平面 $C_{1} M A$ 的距离．

18．在四棱锥 $P-A B C D$ 中，$P D \perp$ 底面 $A B C D, C D / / A B, A D=D C=C B=1, A B=2, D P=\sqrt{3}$ ．

（1）证明：$B D \perp P A$ ；
（2）求 $P D$ 与平面 $P A B$ 所成的角的正弦值．

11．已知随圆 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的离心率为 $\frac{1}{3}, A_{1}, A_{2}$ 分别为 $C$ 的左、右顶点，$B$ 为 $C$ 的上顶点．若 $\overrightarrow{B A_{1}} \cdot \overrightarrow{B A_{2}}=-1$ ，则 $C$ 的方程为

10．已知 $O$ 为坐标原点，过抛物线 $C: y^{2}=2 p x(p>0)$ 焦点 $F$ 的直线与 $C$ 交于 $A, B$ 两点，其中 $A$ 在第一象限，点 $M(p, 0)$ ，若 $|A F|=|A M|$ ，则（ ）

17.

如图，在棱长为 2 的正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，$E$ 为棱 $B C$ 的中点，$F$ 为棱 $C D$ 的中点

（I）求证：$D_{1} F / /$ 平面 $A_{1} E C_{1}$ ；
（II）求直线 $A C_{1}$ 与平面 $A_{1} E C_{1}$ 所成角的正弦值．
（III）求二面角 $A-A_{1} C_{1}-E$ 的正弦值．

14.

已知 $O$ 为坐标原点，抛物线 $C: y^{2}=2 p x(p>0)$ 的焦点为 $F, P$ 为 $C$ 上一点，$P F$ 与 $x$ 轴垂直，$Q$ 为 $x$ 轴上一点，且 $P Q \perp O P$ ，若 $|F Q|=6$ ，则 $C$ 的准线方程为

20．（14 分）已知椭圆 $M: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ，焦距为 $2 \sqrt{2}$ ．斜率为 k 的直线 $l$ 与椭圆 M 有两个不同的交点 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ ．
（I）求椭圆 M 的方程；
（II）若 $\mathrm{k}=1$ ，求 $|\mathrm{AB}|$ 的最大值；
（III）设 $\mathrm{P}(-2,0)$ ，直线 PA 与椭圆 M 的另一个交点为 C ，直线 PB 与椭圆 M的另一个交点为 D．若 C，D 和点 Q（ $-\frac{7}{4}, \frac{1}{4}$ ）共线，求 k ．

20．（12分）已知斜率为 $k$ 的直线 $\mid$ 与椭圆 $C: \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$ 交于 $A, B$ 两点，线段 $A B$的中点为 $\mathrm{M}(1, \mathrm{~m})(\mathrm{m}>0)$ ．
（1）证明： $\mathrm{k}<-\frac{1}{2}$ ；
②设 F 为 C 的右焦点， P 为 C 上一点，且 $\overrightarrow{\mathrm{FP}}+\overrightarrow{\mathrm{FA}}+\overrightarrow{\mathrm{FB}}=\overrightarrow{0}$ ，证明： $2|\overrightarrow{\mathrm{FP}}|=|\overrightarrow{\mathrm{FA}}|+\mid \overrightarrow{\mathrm{FB}}$

I．

19．（15分）如图，已知多面体 $A B C A_{1} B_{1} C_{1}, A_{1} A, B_{1} B, C_{1} C$ 均垂直于平面 $A B C$ ， $\angle \mathrm{ABC}=120^{\circ}, \mathrm{A}_{1} \mathrm{~A}=4, \mathrm{C}_{1} \mathrm{C}=1, \quad \mathrm{AB}=\mathrm{BC}=\mathrm{B}_{1} \mathrm{~B}=2$.
（ I ）证明：$A B_{1} \perp$ 平面 $A_{1} B_{1} C_{1}$ ；
（II）求直线 $A C_{1}$ 与平面 $A B B_{1}$ 所成的角的正弦值．

21．（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分．
双曲线 $x^{2}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$，直线 $l$ 过 $F_{2}$ 且与双曲线交于
$A, B$ 两点．
（1）若 $l$ 的倾斜角为 $\frac{\pi}{2}, \Delta F_{1} A B$ 是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；
②设 $b=\sqrt{3}$，若 $l$ 的斜率存在，且 $\left(\overrightarrow{F_{1} A}+\overrightarrow{F_{1} B}\right) \cdot \overrightarrow{A B}=0$，求 $l$ 的斜率．

19．（14分）（2016•天津）设椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{3}=1(a>\sqrt{3})$ 的右焦点为 $F$ ，右顶点为A．已知 $\frac{1}{|O F|}+\frac{1}{|O A|}=\frac{3 e}{|F A|}$ ，其中 $O$ 为原点，$e$ 为椭圆的离心率．
（1）求椭圆的方程；
②设过点 A 的直线 $l$ 与椭圆交于点 B （ B 不在 x 轴上），垂直于 1 的直线与 1 交于点 M ，与 y 轴于点 $H$ ，若 $B F \perp H F$ ，且 $\angle M O A \leqslant \angle M A O$ ，求直线 $l$ 的斜率的取值范围．

19．（14分）（2016•天津）设椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{3}=1(a>\sqrt{3})$ 的右焦点为 $F$ ，右顶点为 $A$ ，已知 $\frac{1}{|O F|}+\frac{1}{|O A|}=\frac{3 e}{|F A|}$ ，其中 $O$ 为原点，$e$ 为椭圆的离心率．
（1）求椭圆的方程；
②设过点 A 的直线 $l$ 与椭圆交于 B （ B 不在 x 轴上），垂直于 1 的直线与 1 交于点 M ，与 y 轴交于点 $H$ ，若 $B F \perp H F$ ，且 $\angle M O A=\angle M A O$ ，求直线 $l$ 的斜率．

16．（本小题满分 12 分）
在平面直角坐标系 xOy 中，已知向量 $\boldsymbol{m}=\left(\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2}\right), \boldsymbol{n}=(\sin \mathrm{x}, \cos \mathrm{x}), \mathrm{x} \in(0$ ，

$\frac{\pi}{2}$ ）。
（1）若 $\boldsymbol{m} \perp \boldsymbol{n}$ ，求 $\tan \mathrm{x}$ 的值（2）若 $\boldsymbol{m}$ 与 $\boldsymbol{n}$ 的夹角为 $\frac{\pi}{3}$ ，求 x 的值。

## 17．（本小题满分12分）

某工厂 36 名工人的年龄数据如下表。

（1）用系统抽样法从 36 名工人中抽取容量为 9 的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为 44 ，列出样本的年龄数据；
（2）计算（1）中样本的平均值 $\bar{x}$ 和方差 $s^{2}$ ；
（3）36名工人中年龄在 $\bar{x}-s$ 与 $\bar{x}+s$ 之间有多少人？所占的百分比是多少（精确到 $0.01 \%$ ）？

## 18．（本小题满分 14 分）

如图2，三角形 $P D C$ 所在的平面与长方形 $A B C D$ 所在的平面垂直，$P D=P C=4$ ， $A B=6, B C=3$ ．点 $E$ 是 $C D$ 边的中点，点 $F, G$ 分别在线段 $A B, B C$ 上，且 $A F=2 F B$ ， $C G=2 G B$ ．
（1）证明：$P E \perp F G$ ；
（2）求二面角 $P-A D-C$ 的正切值；
（3）求直线 $P A$ 与直线 $F G$ 所成角的余弦值．

图2

## 19．（本小题满分 14 分）

设 $\mathrm{a}>1$ ，函数 $f(x)=\left(1+x^{2}\right) e^{x}-a$ 。
（1）求 $f(x)$ 的单调区间；
（2）证明：$f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上仅有一个零点；
（3）
若曲线 $y=f(x)$ 在点 $P$ 处的切线与 $x$ 轴平行，且在点 $M(m, n)$ 处的切线与直线 $O P$ 平行（ $O$ 是坐标原点），证明：$m \leq \sqrt[3]{a-\frac{2}{e}}-1$

## 20．（本小题满分 14 分）

已知过原点的动直线 $l$ 与圆 $C_{1}: x^{2}+y^{2}-6 x+5=0$ 相交于不同的两点 $A, B$ ．
（1）求圆 $C_{1}$ 的圆心坐标；
（2）求线段 $A B$ 的中点 $M$ 的轨迹 $C$ 的方程；
（3）是否存在实数 $k$ ，使得直线 $L: y=k(x-4)$ 与曲线 $C$ 只有一个交点：若存在，求出 $k$ 的取值范围；若不存在，说明理由．

20．设椭圆 $E$ 的方程为 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ ，点 $O$ 为坐标原点，点 $A$ 的坐标为 $(a, 0)$ ，点 $B$ 的坐标为（ 0 ，
$b)$ ，点 $M$ 在线段 $A B$ 上，满足 $|B M|=2|M A|$ ，直线 $O M$ 的斜率为 $\frac{\sqrt{5}}{10}$ ．
（I）求 $E$ 的离心率 $e$ ；
（II）设点 $C$ 的坐标为 $(0,-b), N$ 为线段 $A C$ 的中点，证明：$M N \perp A B$ ．

12．（5分）已知抛物线 $C$ ：$y^{2}=8 x$ 的焦点为 $F$ ，点 $M(-2,2)$ ，过点 $F$ 且斜率为 $k$的直线与 $C$ 交于 $A$ ，$B$ 两点，若 $\overrightarrow{M A} \cdot \overrightarrow{M B}=0$ ，则 $k=$

（13）已知直线 $y=a$ 交抛物线 $y=x^{2}$ 于 $A, B$ 两点．若该抛物线上存在点 $C$，使得 $\angle A C B$ 为直角，则 $a$ 的取值范围为 $\_\_\_\_$．

（18）（本小题满分 12 分）
设椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{1-a^{2}}=1$ 的焦点在 $x$ 轴上
（I）若椭圆 $E$ 的焦距为 1，求椭圆 $E$ 的方程；
（II）设 $F_{1}, F_{2}$ 分别是椭圆的左、右焦点，$P$ 为椭圆 $E$ 上第一象限内的点，直线 $F_{2} P$ 交 $y$ 轴与点 $Q$，并且 $F_{1} P \perp F_{1} Q$，证明：当 $a$ 变化时，点 $P$ 在某定直线上．

19．（14 分）已知曲线 $C:(5-m) x^{2}+(m-2) y^{2}=8(m \in R)$
（1）若曲线 C 是焦点在 x 轴点上的椭圆，求 m 的取值范围；
②设 $\mathrm{m}=4$ ，曲线 c 与 y 轴的交点为 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$（点 A 位于点 B 的上方），直线 $\mathrm{y}=\mathrm{kx}+4$与曲线 c 交于不同的两点 $\mathrm{M} , \mathrm{~N}$ ，直线 $\mathrm{y}=1$ 与直线 BM 交于点 G ．求证： A ， $G, N$ 三点共线。

10．（5分）已知抛物线 $C$ ：$y^{2}=4 x$ 的焦点为 $F$ ，直线 $y=2 x-4$ 与 $C$ 交于 $A, B$ 两点，则 $\cos \angle \mathrm{AFB}=$（ ）

21．（12分）已知 $O$ 为坐标原点，$F$ 为椭圆 $C: x^{2}+\frac{y^{2}}{2}=1$ 在 $y$ 轴正半轴上的焦点 ，过 F 且斜率为 $-\sqrt{2}$ 的直线 I C 交于 $\mathrm{A} , \mathrm{~B}$ 两点，点 P 满足 $\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{0}$ ．
（ I ）证明：点 P 在 C 上；
（II）设点 P 关于点 O 的对称点为 Q ，证明： $\mathrm{A} , \mathrm{P} , \mathrm{~B} , \mathrm{Q}$ 四点在同一圆上．

12．（5分）已知椭圆 $\mathrm{T}: \frac{\mathrm{x}^{2}}{\mathrm{a}^{2}}+\frac{\mathrm{y}^{2}}{\mathrm{~b}^{2}}=1(\mathrm{a}>\mathrm{b}>0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，过右焦点 F 且斜率为 $k(k>0)$ 的直线与 $T$ 相交于 $A$ ，$B$ 两点，若 $\overline{\mathrm{AF}}=3 \overline{\mathrm{FB}}$ ，则 $k=$（ ）

7．已知双曲线 $\frac{x^{2}}{2}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(b>0)$ 的左右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，其一条渐近线方程为 $y=x$ ，点 $P\left(\sqrt{3}, y_{0}\right)$ 在该双曲线上，则 $\overrightarrow{P F_{1}} \bullet \overrightarrow{P F_{2}}=$
A．-12
B．-2
C ． 0
D． 4

22．（14分）（2008 • 山东）如图，设抛物线方程为 $\mathrm{x}^{2}=2 \mathrm{py} ~(\mathrm{p}>0), \mathrm{M}$ 为直线 $\mathrm{y}=-2 \mathrm{p}$ 上任意一点，过 $M$ 引抛物线的切线，切点分别为 $A, B$。
（I）求证： $\mathrm{A}, \mathrm{M}, \mathrm{B}$ 三点的横坐标成等差数列；
（II）已知当 M 点的坐标为 $(2,-2 \mathrm{p})$ 时，$|\mathrm{AB}|=4 \sqrt{10}$．求此时抛物线的方程；
（III）是否存在点 M，使得点 C 关于直线 AB 的对称点 D 在抛物线 $\mathrm{x}^{2}=2 \mathrm{py}(\mathrm{p}>0)$ 上，其中，点 C 满足 $\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}$（ O 为坐标原点）。若存在，求出所有适合题意的点 M 的坐标；若不存在，请说明理由．

## 2008年山东省高考数学试卷（理科）

18．（本小题满分 12 分）
如图所示，四棱锥 $P-A B C D$ 的底面 $A B C D$ 是边长为 1 的菱形，$\angle B C D=60^{\circ}$ ， E 是 CD 的中点， $\mathrm{PA} \perp$ 底面 $\mathrm{ABCD}, ~ P A=\sqrt{3}$ 。
（I）证明：平面 $\mathrm{PBE} \perp$ 平面 PAB ；
（II）求二面角 $\mathrm{A}-\mathrm{BE}-\mathrm{P}$ 的大小。

19 （本小题满分 13 分）
已知椭圆的中心在原点，一个焦点是 $F(2,0)$ ，且两条准线间的距离为 $\lambda(\lambda>4)$ 。
（I）求椭圆的方程；
（II）若存在过点 $\mathrm{A}(1,0)$ 的直线 $l$ ，使点 F 关于直线 $l$ 的对称点在椭圆上，求 $\lambda$ 的取值范围。

21．（12分）（2008•陕西）已知抛物线C：$y=2 x^{2}$ ，直线 $y=k x+2$ 交C于A，B两点，M是线段 $A B$ 的中点，过 $M$作 x 轴的垂线交 C 于点 N 。
（I）证明：抛物线 C 在点 N 处的切线与 AB 平行；
（II）是否存在实数 k 使 $\overrightarrow{\mathrm{NA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{NB}}=0$ ，若存在，求 k 的值；若不存在，说明理由．