（12分） A B C 的内角A，B，C的对边分别为a，b…——2017 高考数学第 17 题答案解析

【考点】HT：三角形中的几何计算

【专题】11：计算题；35：转化思想；4O：定义法；58：解三角形

【分析】（1）先根据同角的三角函数的关系求出A，再根据余弦定理即可求出

（2）先根据夹角求出cosC，求出CD的长，得到 $\mathsf { S } _ { \triangle \mathsf { A B D } } { = } \frac { 1 } { 2 } \mathsf { S } _ { \triangle \mathsf { A B C } }$

【解答】解：（1） $\because \sin A + \sqrt { 3 } \cos A = 0$

$$ \therefore \tan A = - { \sqrt { 3 } } , $$

∵0＜A＜π，

$$ \therefore A = \frac { 2 \pi } { 3 } , $$

由余弦定理可得 $a ^ { 2 } { = } 6 ^ { 2 } { + } c ^ { 2 } - 2 { \tt b c c o s A }$

即 $2 8 = 4 + c ^ { 2 } - 2 \times 2 c \times ( - \frac { 1 } { 2 } )$

即 $c ^ { 2 } + 2 c - 2 4 = 0$

解得c=﹣6（舍去）或c=4，

故c=4

> ② $\because c ^ { 2 } = b ^ { 2 } + a ^ { 2 } - 2 a b \cos C$

$$ \therefore 1 6 = 2 8 + 4 - 2 { \times } 2 { \sqrt { 7 } } { \times } 2 { \times } \cos \mathrm { C } , $$

∴cosC= 2
√7

$$ \therefore \mathbf { C D } = \frac { A C } { \cos C } = \frac { 2 } { \frac { 2 } { \sqrt { 7 } } } = \sqrt { 7 } $$

∴CD= 1 BC 2

$$ \because S _ { \Delta \mathsf { A B C } } = { \frac { 1 } { 2 } } { \mathsf { A B } } \bullet { \mathsf { A C } } \bullet \mathsf { s i n } { \ s { \mathsf { A C } } } = { \frac { 1 } { 2 } } \times 4 \times 2 \times { \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } } = 2 { \sqrt { 3 } } , $$

$$ \therefore S _ { \Delta A B D } = \frac { 1 } { 2 } S _ { \Delta A B C } = \sqrt { 3 } $$

【点评】本题考查了余弦定理和三角形的面积公式，以及解三角形的问题，属于中档题