（12分）如图，四棱锥 S-A B C D 中， A B…——2011 高考数学第 20 题答案解析

【考点】LW：直线与平面垂直； MI ：直线与平面所成的角．
【专题】11：计算题；14：证明题．
【分析】（1）利用线面垂直的判定定理，即证明SD垂直于面SAB中两条相交的直线 $S A, S B$ ；在证明 $S D$ 与 $S A, S B$ 的过程中运用勾股定理即可
（II）求 AB 与平面 SBC 所成的角的大小即利用平面 SBC 的法向量
$\overrightarrow{\mathrm{n}}$ 与 $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ 间的夹角关系即可，当 $\overrightarrow{\mathrm{n}}$ 与 $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ 间的夹角为锐角时，所求的角即为它的余角；当 $\overrightarrow{\mathrm{n}}$ 与 $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ 间的夹角为钝角时，所求的角为 $<\overrightarrow{\mathrm{n}}, \overrightarrow{\mathrm{AB}}>\frac{\pi}{2}$

【解答】（I）证明：在直角梯形 ABCD 中，
$\because A B \| C D, B C \perp C D, A B=B C=2, C D=1$
$\therefore \mathrm{AD}=\sqrt{(\mathrm{AB}-\mathrm{CD})^{2}+\mathrm{BC}^{2}}=\sqrt{5}$
∵ 侧面 $S A B$ 为等边三角形，$A B=2$
$\therefore \mathrm{SA}=2$
$\because \mathrm{SD}=1$

$\therefore \mathrm{AD}^{2}=\mathrm{SA}^{2}+\mathrm{SD}^{2}$
$\therefore S D \perp S A$
同理： $\mathrm{SD} \perp \mathrm{SB}$
$\because S A \cap S B=S, S A, S B \subset$ 面 $S A B$
$\therefore \mathrm{SD} \perp$ 平面 SAB
（II）建立如图所示的空间坐标系
则 $\mathrm{A}(2,-1,0), \mathrm{B}(2,1,0), \mathrm{C}(0,1,0)$ ，
作出 $S$ 在底面上的投影 $M$ ，则由四棱锥 $S-A B C D$ 中，$A B \| C D, B C \perp C D$ ，侧面 $S A B$ 为等边三角形知，$M$ 点一定在 $x$ 轴上，又 $A B=B C=2, C D=S D=1$ ．可解得 $M D=\frac{1}{2}$ ，从而解得 $\mathrm{SM}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，故可得 $\mathrm{S}\left(\frac{1}{2}, 0, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$
则 $\overrightarrow{\mathrm{SB}}=\left(\frac{3}{2}, 1,-\frac{\sqrt{3}}{2}\right), \overrightarrow{\mathrm{SC}}=\left(-\frac{1}{2}, 1,-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$
设平面 SBC 的一个法向量为 $\overrightarrow{\mathrm{n}}=(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})$
则 $\overrightarrow{\mathrm{SB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{n}}=0, \overrightarrow{\mathrm{SC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{n}}=0$
即 $\left\{\begin{array}{l}\frac{3}{2} x+y-\frac{\sqrt{3}}{2} z=0 \\ -\frac{1}{2} x+y-\frac{\sqrt{3}}{2} z=0\end{array}\right.$
取 $x=0, y=\frac{\sqrt{3}}{2}, z=1$
即平面SBC的一个法向量为 $\overrightarrow{\mathrm{n}}=(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})=\left(0, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1\right)$
又 $\overrightarrow{\mathrm{AB}}=(0,2,0)$
$\cos <\overrightarrow{\mathrm{AB}}, \overrightarrow{\mathrm{n}}>=\frac{\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{n}}}{|\overrightarrow{\mathrm{AB}}| \cdot|\overrightarrow{\mathrm{n}}|}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}=\frac{\sqrt{21}}{7}$
$\therefore<\overrightarrow{\mathrm{AB}}, \overrightarrow{\mathrm{n}}>=\arccos \frac{\sqrt{21}}{7}$
即 AB 与平面 SBC 所成的角的大小为 $\arcsin \frac{\sqrt{21}}{7}$

【点评】本题考查了直线与平面垂直的判定，直线与平面所成的角以及空间向量的基本知识，属于中档题．