2014_daganji_old
11．（5分）双曲线C： $\frac { \texttt { x } ^ { 2 } } { \texttt { a } ^ { 2 } } - \frac { \texttt { y } ^ { 2 } } { \texttt { b } ^ { 2 } } = 1 ~ ( \texttt { a } > 0 , ~ \texttt { b } > 0 )$ ）的离心率为2，焦点到渐近线的距离为 ${ \sqrt { 3 } } ,$ ，则C的焦距等于（ ）A．2 B $2 \sqrt { 2 }$ C．4 D $4 \sqrt { 2 }$
C
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【考点】KC：双曲线的性质
【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程
【分析】根据双曲线的离心率以及焦点到直线的距离公式，建立方程组即可得到结论
【解答】解：∵： $\frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } - \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a > 0 , b > 0 )$ 的离心率为2，
$\therefore e = \frac { c } { a } = 2$ ，双曲线的渐近线方程为 $\mathbf { \boldsymbol { v } } = \pm \frac { \mathrm { b } } { \mathrm { a } } \mathbf { \boldsymbol { x } } ^ { \prime }$ 不妨取 $\mathsf { y } = \frac { \mathsf { b } } { \mathsf { a } } \mathtt { x } \cdot$ ，即 ${ \mathsf { b } } \times - { \mathsf { a y } } = 0$
则c=2a， $\mathsf { b } = \sqrt { \mathsf { c } ^ { 2 } - \mathsf { a } ^ { 2 } } = \sqrt { 3 } \mathsf { a } ^ { \prime }$
∵焦点F（c，0）到渐近线 ${ \mathsf { b } } \times - { \mathsf { a y } } = 0$ 的距离为 ${ \sqrt { 3 } } ,$
$$ \therefore d = \frac { b c } { \sqrt { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } } = \sqrt { 3 } , $$
即 $\frac { \sqrt { 3 } a ^ { 4 } c } { \sqrt { a ^ { 2 } + 3 a ^ { 2 } } } = \frac { \sqrt { 3 } a c } { 2 a } = \frac { \sqrt { 3 } c } { 2 } = \sqrt { 3 } ,$
解得c=2，
则焦距为2c=4，
故选：C
【点评】本题主要考查是双曲线的基本运算，利用双曲线的离心率以及焦点到直线的距离公式，建立方程组是解决本题的关键，比较基础