19．（本小题满分 14 分）
已知 $q$ 和 $n$ 均为给定的大于 1 的自然数，设集合 $M=\{0,1,2, \ldots, q-1\}$ ，集合 $A=\left\{x \mid x=x_{1}+x_{2} q+\ldots+x_{n} q^{n-1}, \quad x_{i} \in M, i=1,2, \ldots, n\right\}$ ．
（1）当 $q=2, n=3$ 时，用列举法表示集合 $A$ ；
②设 $s , t \in A, s=a_{1}+a_{2} q+\ldots+a_{n} q^{n-1}, t=b_{1}+b_{2} q+\ldots+b_{n} q^{n-1}$ ，其中 $a_{i} , b_{i} \in M , i=1,2, \ldots, n$ ．证明：若 $a_{n}
（本小题满分 14 分） 已知 q 和 n 均为给定的大于…——2014 高考数学第 19 题答案解析
2014_天津卷 (2014·理)
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【解答】
（本小题满分 14 分）
【解析】①当 $q=2, n=3$ 时，$M=\{0,1\}$ ，
$$ A=\left\{x \mid x=x_{1}+x_{2} \cdot 2+x_{3} \cdot 2^{2}, x_{i} \in M, i=1,2,3\right\} . $$
可得，$A=\{0,1,2,3,4,5,6,7\}$ ． $$
\begin{aligned}
s-t & =\left(a_{1}-b_{1}\right)+\left(a_{2}-b_{2}\right) q+\cdots+\left(a_{n-1}-b_{n-1}\right) q^{n-2}+\left(a_{n}-b_{n}\right) q^{n-1} \\
& \leqslant(q-1)+(q-1) q+\cdots+(q-1) q^{-2}-q^{n-1} \\
& =\frac{(q-1)\left(1-q^{-1}\right)}{1-q}-q^{-1}=-1<0 .
\end{aligned}
$$ 所以，$s
②由 $s, t \in A, s=a_{1}+a_{2} q+\cdots+a_{n} q^{-1}, t=b_{1}+b_{2} q+\cdots+b_{n} q^{-1}$ ，
$a_{i}, b \in M, i=1,2, \cdots, n$ 及 $a_{n}
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