2017_新课标II卷
9．（5分）若双曲线C： $\frac { \texttt { x } ^ { 2 } } { \texttt { a } ^ { 2 } } - \frac { \texttt { y } ^ { 2 } } { \texttt { b } ^ { 2 } } = 1 ~ ( \texttt { a } > 0 , ~ \texttt { b } > 0 )$ 的一条渐近线被圆 $( \textsf { x } - 2 )$ $\scriptstyle 2 + y ^ { 2 } = 4$ 所截得的弦长为2，则C的离心率为（ ）A．2 B $\sqrt { 3 }$ C $\sqrt { 2 }$ D $\frac { 2 { \sqrt { 3 } } } { 3 }$
A
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【考点】KC：双曲线的性质；KJ：圆与圆锥曲线的综合
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程
【分析】通过圆的圆心与双曲线的渐近线的距离，列出关系式，然后求解双曲线的离心率即可
【解答】解：双曲线C： $\frac { \texttt { x } ^ { 2 } } { \texttt { a } ^ { 2 } } - \frac { \texttt { y } ^ { 2 } } { \texttt { b } ^ { 2 } } = 1 ~ ( \texttt { a } > 0 , ~ \texttt { b } > 0 )$ 的一条渐近线不妨为： ${ \mathsf { b } } \times ^ { + } { \mathsf { a } }$ $\scriptstyle { \mathsf { y } } = 0$
圆 $( x - 2 ) 2 + y ^ { 2 } = 4$ 的圆心（2，0），半径为：2，
双曲线C： $\frac { \texttt { x } ^ { 2 } } { \texttt { a } ^ { 2 } } - \frac { \texttt { y } ^ { 2 } } { \texttt { b } ^ { 2 } } = 1 ~ ( \texttt { a } > 0 , ~ \texttt { b } > 0 )$ 的一条渐近线被圆 $( x - 2 ) 2 + y ^ { 2 } = 4$ 所截得的弦长为2，
可得圆心到直线的距离为： $\sqrt { 2 ^ { 2 } - 1 ^ { 2 } } = \sqrt { 3 } = \frac { \vert 2 b \vert } { \sqrt { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } }$
解得： $\frac { 4 c ^ { 2 } - 4 a ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } = 3 ,$ ，可得 $\scriptstyle \mathtt { e } ^ { 2 } = 4$ ，即 $e = 2$ ．
故选：A
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，圆的方程的应用，考查计算能力