（14 分）如图，在三棱锥 P﹣ABC 中，PA⊥AB，P…——2017 高考数学第 18 题答案解析

【专题】35：转化思想；49：综合法；5F：空间位置关系与距离

【分析】（1）运用线面垂直的判定定理可得 PA⊥平面 ABC，再由性质定理即可得证；

（2）要证平面BDE⊥平面PAC，可证BD⊥平面PAC，由（1）运用面面垂直的判定定理可得平面 PAC⊥平面ABC，再由等腰三角形的性质可得BD⊥AC，运用面面垂直的性质定理，即可得证；

> ③由线面平行的性质定理可得 PA∥DE，运用中位线定理，可得 DE 的长，以及DE⊥平面ABC，求得三角形BCD的面积，运用三棱锥的体积公式计算即可得到所求值

【解答】解：（1）证明：由PA⊥AB，PA⊥BC，

AB⊂平面 ABC，BC⊂平面 ABC，且 AB∩BC=B，

可得PA⊥平面ABC，

由 BD⊂平面 ABC，

可得 PA⊥BD；

（2）证明：由AB=BC，D为线段AC 的中点，

可得 BD⊥AC，

由 PA⊥平面 ABC，PA⊂平面 PAC，

可得平面 PAC⊥平面 ABC，

又平面 PAC∩平面 ABC=AC，

BD⊂平面 ABC，且 BD⊥AC，

即有 BD⊥平面 PAC，

BD⊂平面 BDE，

可得平面 BDE⊥平面 PAC；

> ③PA∥平面 BDE，PA⊂平面 PAC，

且平面 PAC∩平面 BDE=DE，

可得 PA∥DE，

又 D 为 AC 的中点，

可得 E 为 PC 的中点，且 ${ \mathsf { D } } { \mathsf { E } } { = } \frac { 1 } { 2 } { \mathsf { P } } { \mathsf { A } } { = } 1$

由 $\mathsf { P A } \bot$ 平面 ABC，

可得 $\tt D E \bot$ 平面 ABC，

可得 $S _ { \triangle \sf B D C } = \frac { 1 } { 2 } S _ { \triangle \sf A B C } = \frac { 1 } { 2 } \times \frac { 1 } { 2 } \times 2 \times 2 = 1$

则三棱锥E﹣BCD 的体积为 $\frac { 1 } { 3 } \mathsf { D E } \bullet \mathsf { S } _ { \triangle \mathsf { B D C } } = \frac { 1 } { 3 } \times 1 \times 1 = \frac { 1 } { 3 }$

【点评】本题考查空间的线线、线面和面面的位置关系的判断，主要是平行和垂直的关系，注意运用线面平行的性质定理以及线面垂直的判定定理和性质定理，面面垂直的判定定理和性质定理，同时考查三棱锥的体积的求法，考查空间想象能力和推理能力，属于中档题