（本小题满分 12 分） 已知 cos (x- π 4 )…——2008 高考数学第 17 题答案解析

【解答】
本小题主要考查同角三角函数的基本关系式、特殊角三角函数值、两角和的正弦、两角差的余弦、二倍角的正弦与余弦等基础知识，考查基本运算能力。满分 12 分。
（I）解法一：因为 $x \in\left(\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{4}\right)$ ，所以 $x-\frac{\pi}{4} \in\left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right)$ ，于是
$\sin \left(x-\frac{\pi}{4}\right)=\sqrt{1-\cos ^{2}\left(x-\frac{\pi}{4}\right)}=\frac{7 \sqrt{2}}{10}$.
$\sin x=\sin \left(\left(x-\frac{\pi}{4}\right)+\frac{\pi}{4}\right)=\sin \left(x-\frac{\pi}{4}\right) \cos \frac{\pi}{4}+\cos \left(x-\frac{\pi}{4}\right) \sin \frac{\pi}{4}$
$=\frac{7 \sqrt{2}}{10} \times \frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{10} \times \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{4}{5}$ ．

解法二：由题设得 $\frac{\sqrt{2}}{2} \cos x+\frac{\sqrt{2}}{2} \sin x=\frac{\sqrt{2}}{10}$ ，即 $\cos x+\sin x=\frac{1}{5}$ ．

又 $\sin ^{2} x+\cos ^{2} x=1$ ，从而 $25 \sin ^{2} x-5 \sin x-12=0$ ，解得 $\sin x=\frac{4}{5}$ 或 $\sin x=-\frac{3}{5}$ ．

因为 $x \in\left(\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{4}\right)$ ，所以 $\sin x=\frac{4}{5}$ ．
（II）解：因为 $x \in\left(\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{4}\right)$ ，故 $\cos x=-\sqrt{1-\sin ^{2} x}=-\sqrt{1-\left(\frac{4}{5}\right)^{2}}=-\frac{3}{5}$ ．
$\sin 2 x=2 \sin x \cos x=-\frac{24}{25}, \quad \cos 2 x=2 \cos ^{2} x-1=-\frac{7}{25}$.

所以，
$\sin \left(2 x+\frac{\pi}{3}\right)=\sin 2 x \cos \frac{\pi}{3}+\cos 2 x \sin \frac{\pi}{3}=-\frac{24+7 \sqrt{3}}{50}$.