16．（5分）求证：菱形各边中点在以对角线的交点为圆心的同一个圆上．
（5分）求证：菱形各边中点在以对角线的交点为圆心的同一个圆…——2009 高考数学第 16 题答案解析
2009_旧全国 II 卷 (2009·理)
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【考点】N8：圆內接多边形的性质与判定．
【专题】14：证明题；16：压轴题．
【分析】如图，菱形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ 和 $B D$ 相交于点 $O$ ，菱形 $A B C D$ 各边中点分别为 $M , N , P , Q$ ，根据菱形的性质得到 $A C \perp B D$ ，垂足为 $O$ ，且 $A B=B C=C D=D$
A，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到 $O M=O N=O P=O Q=\frac{1}{2} A B$ ，得到 $M , N , P , Q$ 四点在以 $O$ 为圆心 $O M$ 为半径的圆上．
【解答】已知：如图，菱形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ 和 $B D$ 相交于点 $O$ ．
求证：菱形 $A B C D$ 各边中点 $M , N , P , Q$ 在以 $O$ 为圆心的同一个圆上．
证明：∵ 四边形 ABCD 是菱形，
$\therefore A C \perp B D$ ，垂足为 $O$ ，且 $A B=B C=C D=D A$ ，
而 $M , N , P , Q$ 分别是边 $A B , B C , C D , D A$ 的中点，
$\therefore \mathrm{OM}=\mathrm{ON}=\mathrm{OP}=\mathrm{OQ}=\frac{1}{2} \mathrm{AB}$ ，
$\therefore M , N , P , Q$ 四点在以 $O$ 为圆心 $O M$ 为半径的圆上．
所以菱形各边中点在以对角线的交点为圆心的同一个圆上。
【点评】本题考查了四点共圆的判定方法。也考查了菱形的性质以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
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