2009 全国高考数学 2009_旧全国 II 卷 (2009·理) 第 16 题答案解析 | 高考数学真题检索

Question

16．（5分）求证：菱形各边中点在以对角线的交点为圆心的同一个圆上．

Accepted Answer

【考点】N8：圆內接多边形的性质与判定． 【专题】14：证明题；16：压轴题． 【分析】如图，菱形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ 和 $B D$ 相交于点 $O$ ，菱形 $A B C D$ 各边中点分别为 $M 、 N 、 P 、 Q$ ，根据菱形的性质得到 $A C \perp B D$ ，垂足为 $O$ ，且 $A B=B C=C D=D$ A，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到 $O M=O N=O P=O Q=\frac{1}{2} A B$ ，得到 $M 、 N 、 P 、 Q$ 四点在以 $O$ 为圆心 $O M$ 为半径的圆上． 【解答】已知：如图，菱形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ 和 $B D$ 相交于点 $O$ ． 求证：菱形 $A B C D$ 各边中点 $M 、 N 、 P 、 Q$ 在以 $O$ 为圆心的同一个圆上． 证明：∵ 四边形 ABCD 是菱形， $	herefore A C \perp B D$ ，垂足为 $O$ ，且 $A B=B C=C D=D A$ ， 而 $M 、 N 、 P 、 Q$ 分别是边 $A B 、 B C 、 C D 、 D A$ 的中点， $	herefore \mathrm{OM}=\mathrm{ON}=\mathrm{OP}=\mathrm{OQ}=\frac{1}{2} \mathrm{AB}$ ， $	herefore M 、 N 、 P 、 Q$ 四点在以 $O$ 为圆心 $O M$ 为半径的圆上． 所以菱形各边中点在以对角线的交点为圆心的同一个圆上。 ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/df17f999-65de-44de-9051-3fb65f854421-11.jpg?height=384&width=581&top_left_y=1848&top_left_x=305) 【点评】本题考查了四点共圆的判定方法。也考查了菱形的性质以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

2009 高考数学第 16 题答案解析

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