2009 quanguo_old_ii · 理 数学　·　真题与答案解析

1．（5分）$\frac{10 i}{2-i}=$

2．（5分）设集合 $A=\{x| | x \mid>3\}, B=\left\{x \left\lvert\, \frac{x-1}{x-4}<0\right.\right\}$ ，则 $A \cap B=$

3．（5分）已知 $\triangle \mathrm{ABC}$ 中， $\cot \mathrm{A}=-\frac{12}{5}$ ，则 $\cos \mathrm{A}=$（ ）

4．（5分）函数 $y=\frac{x}{2 x-1}$ 在点 $(1,1)$ 处的切线方程为（ ）

5．（5分）已知正四棱柱 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，$A A_{1}=2 A B$ ，$E$ 为 $A A_{1}$ 中点，则异面直线 BE 与 $\mathrm{CD}_{1}$ 所形成角的余弦值为（ ）

6．（5分）已知向量 $\overrightarrow{\mathrm{a}}=(2,1), \overrightarrow{\mathrm{a}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{b}}=10,|\overrightarrow{\mathrm{a}}+\overrightarrow{\mathrm{b}}|=5 \sqrt{2}$ ，则 $|\overrightarrow{\mathrm{b}}|=$（ ）

7．（5分）设 $\mathrm{a}=\log _{3} \pi, \mathrm{~b}=\log _{2} \sqrt{3}, \mathrm{c}=\log _{3} \sqrt{2}$ ，则（）

8．（5分）若将函数 $\mathrm{y}=\tan \left(\omega \mathrm{x}+\frac{\pi}{4}\right) ~(\omega>0) ~$ 的图象向右平移 $\frac{\pi}{6}$ 个单位长度后，与函数 $y=\tan \left(\omega x+\frac{\pi}{6}\right)$ 的图象重合，则 $\omega$ 的最小值为（ ）

9．（5分）已知直线 $y=k(x+2)(k>0)$ 与抛物线 $C: y^{2}=8 x$ 相交于 $A , B$ 两点，$F$为 C 的焦点，若 $|\mathrm{FA}|=2|\mathrm{FB}|$ ，则 $\mathrm{k}=$（ ）

10．（5分）甲、乙两人从 4 门课程中各选修 2 门，则甲、乙所选的课程中恰有 1 门相同的选法有

11．（5分）已知双曲线C：$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的右焦点为F，过F且斜率为 $\sqrt{3}$ 的直线交 C 于 $\mathrm{A} , \mathrm{~B}$ 两点，若 $\overrightarrow{\mathrm{AF}}=4 \overrightarrow{\mathrm{FB}}$ ，则 C 的离心率为 

12．（5分）纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北．现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到如图所示的平面图形，则标＂$\triangle$＂的面的方位（） 

13．（5分）$(x \sqrt{y}-y \sqrt{x})^{4}$ 的展开式中 $x^{3} y^{3}$ 的系数为 $\_\_\_\_$ 6 ．

14．（5分）设等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{5}=5 a_{3}$ ，则 $\frac{S_{9}}{S_{5}}=$ $\_\_\_\_$ 9 ．

15．（5分）设 $O A$ 是球 $O$ 的半径，$M$ 是 $O A$ 的中点，过 $M$ 且与 $O A$ 成 $45^{\circ}$ 角的平面截球 $O$ 的表面得到圆 $C$ ．若圆 $C$ 的面积等于 $\frac{7 \pi}{4}$ ，则球 $O$ 的表面积等于 $\_\_\_\_$ $8 \pi$。

16．（5分）求证：菱形各边中点在以对角线的交点为圆心的同一个圆上．

17．（10分）设 $\triangle A B C$ 的内角 $A , B , C$ 的对边长分别为 $a , b , c, \cos (A-C)+c$ $ \mathrm{osB}=\frac{3}{2}, \mathrm{~b}^{2}=\mathrm{ac} \text {, 求 } \mathrm{B} \text {. } $

18．（12分）如图，直三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，$A B \perp A C, D , E$ 分别为 $A A_{1} , B_{1} C$ 的中点， $\mathrm{DE} \perp$ 平面 $\mathrm{BCC}_{1}$ ． （ I ）证明： $\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$ ； （II）设二面角 $\mathrm{A}-\mathrm{BD}-\mathrm{C}$ 为 $60^{\circ}$ ，求 $\mathrm{B}_{1} \mathrm{C}$ 与平面 BCD 所成的角的大小。 

19．（12分）设数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，已知 $a_{1}=1, S_{n+1}=4 a_{n}+2\left(n \in N^{*}\right)$ ． ①设 $b_{n}=a_{n+1}-2 a_{n}$ ，证明数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 是等比数列； （2）求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式。

20．（12分）某车间甲组有 10 名工人，其中有 4 名女工人；乙组有 5 名工人，其中有 3 名女工人，现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取 3 名工人进行技术考核。 （I）求从甲、乙两组各抽取的人数； （II）求从甲组抽取的工人中恰有 1 名女工人的概率； （III）记 $\xi$ 表示抽取的 3 名工人中男工人数，求 $\xi$ 的分布列及数学期望。

21．（12分）已知椭圆 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，过右焦点 $F$ 的直线 $l$ 与 C 相交于 A 、 B 两点，当 I 的斜率为 1 时，坐标原点 O 到 I 的距离为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ， （I）求 a ， b 的值； （II） C 上是否存在点 P ，使得当绕 F 转到某一位置时，有 $\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}$ 成立？若存 在，求出所有的 P 的坐标与 $l$ 的方程；若不存在，说明理由．

22．（12分）设函数 $f(x)=x^{2}+a \ln (1+x)$ 有两个极值点 $x_{1} , x_{2}$ ，且 $x_{1}<x_{2}$ ， （I）求 a 的取值范围，并讨论 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 的单调性； （II）证明： $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}_{2}\right)>\frac{1-2 \ln 2}{4}$ ．