2018_新课标II卷
9．（5分）在正方体 $\mathsf { A B C D } - \mathsf { A } _ { 1 } \mathsf { B } _ { 1 } \mathsf { C } _ { 1 } \mathsf { D } _ { 1 }$ 中，E为棱 $\mathsf { C C } _ { 1 }$ 的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为（ ）A $\frac { \sqrt { 2 } } { 2 }$ B $\frac { \sqrt { 3 } } { 2 }$ C $\frac { \sqrt { 5 } } { 2 }$ D $\frac { \sqrt { 7 } } { 2 }$
C
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【考点】LM：异面直线及其所成的角
【专题】11：计算题；31：数形结合；41：向量法；5G：空间角
【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴， $\mathsf { D D } _ { 1 }$ 为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AE与CD所成角的正切值
【解答】解以D为原点，DA为x轴，DC为y轴， $\mathsf { D D } _ { 1 }$ 为z轴，建立空间直角坐标系
设正方体 $\mathsf { A B C D } - \mathsf { A } _ { 1 } \mathsf { B } _ { 1 } \mathsf { C } _ { 1 } \mathsf { D } _ { 1 }$ 棱长为2，
则A（2，0，0），E（0，2，1），D（0，0，0），
C（0，2，0）
$\overrightarrow { A E } = ( \mathbf { \nabla } - 2 , \ 2 , \ 1 )$ $\overrightarrow { C D } = ( 0 , - 2 , 0 )$
设异面直线AE与CD所成角为θ，
则 $\cos \theta = \frac { \vert \overrightarrow { A E } _ { \cdot } \overrightarrow { C D } \vert } { \vert \overrightarrow { A E } _ { \cdot } \vert \cdot \vert \overrightarrow { C D } \vert } = \frac { 4 } { \sqrt { 9 } \cdot 2 } = \frac { 2 } { 3 } ,$
$$ \mathsf { s i n } \Theta = \sqrt { 1 - ( \frac { 2 } { 3 } ) ^ { 2 } } = \frac { \sqrt { 5 } } { 3 } $$
$$ \therefore \tan \theta = \frac { \sqrt { 5 } } { 2 } $$
∴异面直线AE与CD所成角的正切值为 $\frac { \sqrt { 5 } } { 2 }$
故选：C
【点评】本题考查异面直线所成角的正切值的求法，考查空间角等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题