（12分）（2008•四川）设数列 a _ n 的前n项和…——2008 高考数学第 20 题答案解析

【考点】数列的应用

【专题】计算题；证明题

【分析】（Ⅰ）当b=2时，由题设条件知 $\mathrm { a _ { n + 1 } } { = } 2 \mathrm { a _ { n } } { + } 2 ^ { \mathrm { n } }$ ．由此可知 $a _ { \mathrm { n } + 1 } - \mathrm { ( n + 1 ) } \bullet 2 ^ { \mathrm { n } } = 2 { \mathrm { a } } _ { \mathrm { n } } + 2 ^ { \mathrm { n } } -$

$\mathrm { ( n + 1 ) } \bullet 2 ^ { \mathrm { n } } { = } 2 ( \mathrm { a _ { n } } - \mathrm { n } { \bullet } 2 ^ { \mathrm { n } - 1 } )$ ），所以 $\{ \mathbf { a } _ { \mathrm { n } } - \mathbf { n } \bullet 2 ^ { \mathrm { n } - 1 } \}$ 是首项为1，公比为2的等比数列

（Ⅱ）当b=2时，由题设条件知 ${ \bf a } _ { \mathrm { n } } { \bf = } \left( { \bf n } { + } 1 \right) 2 ^ { \mathrm { n } - \mathrm { l } }$ ；当b≠2时，由题意得

$a _ { \mathrm { n + 1 } } - \frac { 1 } { 2 - \mathrm { b } } \bullet 2 ^ { \mathrm { n + 1 } } = \mathrm { b } a _ { \mathrm { n } } + 2 ^ { \mathrm { n } } - \frac { 1 } { 2 - \mathrm { b } } \bullet 2 ^ { \mathrm { n + 1 } } = \mathrm { b } ( a _ { \mathrm { n } } - \frac { 1 } { 2 - \mathrm { b } } \bullet 2 ^ { \mathrm { n } } )$ ，由此能够导出 $\{ \mathbf { a } _ { \mathrm { n } } \}$

的通项公式

【解答】解：（Ⅰ）当b=2时，由题意知 $2 \mathbf { a } _ { 1 } - 2 { = } \mathbf { a } _ { 1 }$ ，解得 $\mathbf { a } _ { 1 } { = } 2$ ，

且 $ { \mathbf { b } } { \mathbf { a } } _ { \mathrm { n } } - 2 ^ { \mathrm { n } } = { \left( \mathbf { b } - 1 \right) } { \mathbf { S } } _ { \mathrm { n } }$

$$ \mathbf { \left. \mathbf { a } _ { n + 1 } \right|} - 2 ^ { \mathbf { n + 1 } } = \mathbf { \left( \mathbf { b } _ { \alpha } - 1 \right) } \ \mathbf { S } _ { \mathbf { n + 1 } } $$

两式相减得 $\textrm { \textbf { b } } ( \mathbf { a } _ { \mathrm { n } + 1 } - \mathbf { a } _ { \mathrm { n } } ) \cdot \mathbf { \nabla } 2 ^ { \mathrm { n } } = \textrm { ( } \mathbf { b } - 1 \mathbf { ) } \ \mathbf { a } _ { \mathrm { n } + 1 }$

即 $a _ { \mathrm { n + 1 } } { = } \mathrm { b a } _ { \mathrm { n } } { + } 2 ^ { \mathrm { n } } \textcircled { 1 }$

当 b=2 时，由①知 $\mathrm { a _ { n + 1 } } { = } 2 \mathrm { a _ { n } } { + } 2 ^ { \mathrm { n } }$

于是 $\mathrm { a _ { n + 1 } - \mathrm { ( n + 1 ) \bullet 2 ^ { n } } = 2 a _ { n } + 2 ^ { n } - \mathrm { ( n + 1 ) \bullet 2 ^ { n } } = 2 \mathrm { ( \mathtt { a } _ { n } - n \bullet 2 ^ { n - 1 } ) } }$

又 $\mathbf { a } _ { 1 } - 1 { \bullet } 2 ^ { 0 } { = } 1 { \neq } 0$ ，所以 $\{ \mathbf { a } _ { \mathrm { n } } - \mathbf { n } \bullet 2 ^ { \mathrm { n } - 1 } \}$ 是首项为 1，公比为 2 的等比数列

（Ⅱ）当b=2时，由（Ⅰ）知 $\mathtt { a _ { n } } - \mathtt { n } \bullet 2 ^ { \mathtt { n } - 1 } = 2 ^ { \mathtt { n } - 1 }$

即 ${ \bf a } _ { \mathrm { n } } { = \bf \Pi ( n { + } 1 ) \epsilon \ 2 ^ { \mathrm { n } - 1 } }$

当b≠2时，由①得 $a _ { \mathrm { n + 1 } } - { \frac { 1 } { 2 - b } } \bullet 2 ^ { \mathrm { n + 1 } } = b a _ { \mathrm { n } } + 2 ^ { \mathrm { n } } - { \frac { 1 } { 2 - b } } \bullet 2 ^ { \mathrm { n + 1 } }$

$$ = b a _ { n } - \frac { b } { 2 - b } \bullet 2 ^ { n } = b ( a _ { n } - \frac { 1 } { 2 - b } \bullet 2 ^ { n } ) $$

$$ a _ { \mathrm { n + 1 } } - \frac { 1 } { 2 - b } \bullet 2 ^ { \mathrm { n + 1 } } = b ( a _ { \mathrm { n } } - \frac { 1 } { 2 - b } \bullet 2 ^ { \mathrm { n } } ) = \frac { 2 ( 1 - b ) } { 2 - b } \bullet b ^ { \mathrm { n } } $$

$$ a _ { n + 1 } = \frac { 1 } { 2 - b } \cdot 2 ^ { n + 1 } + \frac { 2 ( 1 - b ) } { 2 - b } \cdot b ^ { n } $$

所以 $a _ { n } = \frac { 1 } { 2 - b } \cdot 2 ^ { n } + \frac { 2 ( 1 - b ) } { 2 - b } \cdot b ^ { n - 1 }$

【点评】此题重点考查数列的递推公式，利用递推公式求数列的通项公式，同时考查分类讨论思想；推移脚标两式相减是解决含有 $\mathrm { S } _ { \mathrm { n } }$ 的递推公式的重要手段，使其转化为不含 $\mathrm { S } _ { \mathrm { n } }$ 的递推公式，从而针对性的解决；在由递推公式求通项公式是重视首项是否可以吸收是易错点，同时重视分类讨论，做到条理清晰是关键